Separadas e todas as folhas devem ser identificadas. 3 Na resolução dos problemas justificar



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MECÂNICA DOS MEIOS CONTÍNUOS

1º Exame – 17 de Julho de 2003


Observações:

1) Não podem ser consultados quaisquer elementos de estudo para além do formulário fornecido.

2) Os problemas devem ser resolvidos em folhas separadas e todas as folhas devem ser identificadas.

3) Na resolução dos problemas justificar convenientemente todas as passagens indicando, se necessário, quais os conceitos teóricos utilizados.

4) A duração total da prova é de 3 horas.



Problema (4.5 val.)

Considere a placa quadrada representada na figura sujeita ao campo de tensões dado por




C



D
11 = 5 + 5 x112 = 21 =  5 + 5 x2

22 =  10 x113 = 31 = 0

23 = 32 = 0 33 =  20
(x em [m], ij em [MPa])

A

B


(1.0) a) Determine o campo de forças de massa que equilibra o campo de tensões.

(1.0) b) Determine e represente graficamente as forças por unidade de área aplicadas na fronteira AB da placa.

c) No ponto B(1,0,0) (m) determine:

(1.0) c1) as tensões principais e as direcções principais de tensão;

(1.5) c2) a orientação das facetas no plano (xI, xIII) em que se verifica n = (I + III)/3.


Problema (3.0 val.)
Considere o seguinte movimento, em coordenadas lagrangeanas, de um fluido newtoniano homogéneo e isotrópico:

x1 = X1 (1+ 2t), x2 = X2 (1+t)2, x3 = X3 (xi e Xj em [m], t em [s]).

(1.0) a) Calcule a velocidade e a aceleração do movimento nas descrições material e espacial.

(1.0) b) Diga, justificando, se o movimento é permanente ou variável, se o campo de velocidades é ou não solenoidal e se o escoamento é rotacional ou irrotacional.

(1.0) c) Refira o significado físico das parcelas simétrica e anti-simétrica do gradiente da velocidade.
3º Problema (2.5 val.)

A placa triangular ABC foi submetida a uma deformação plana e homogénea, passando a ocupar a posição AB'C' conforme representado na figura.

(1.5) a) Determine as componentes do tensor das deforma­ções infinitesimais de Cauchy e do tensor das rotações infinitesimais.

(1.0) b) Defina extensão e distorção.





FORMULÁRIO
T’rs = air ajs Tij , Tij = air ajs T’rs , T’ = AT T A , T = A T’ AT, aij = cos ( , )

ij,i + Xj = 0 , tj = ij ni , j (n) = ij ni , n = . , 2 = arcsin

 =  , OC = , R= , = + vk

ij = (ui,j + uj,i) , ij = (ui,j - uj,i), ij,kl + kl,ij - ik,jl - jl,ik = 0,   kk,

Dij = (vi,j + vj,i) , Vij = (vi,j - vj,i) , i = eíjk Vkj, ijT = Tij , = K

ds2 – dS2 = 2Eij dXi dXj , = = = dt, ijt = 2G ijt

ij = ij + kk ij , ij = ij - kk ij , ij = 2 ij +  kk ij

ij = ij - ij , ij = -p ij +2 Dij + Dkk ij , +  vk,k = 0

ij,i + bj =  aj ,  = íj Dij - qj,j + r, -p,j + (vi,ji + vj,ii) +  vk,kj + bj =  +  vj,k vk

+ - = 0,  = 0 ( + ) ,  = 0 exp(- t) ,  = 



4º Problema (7.0 val)

Num ponto de um corpo isotrópico de Hooke (GPa, GPa), conhecem-se as seguintes extensões: 11 = 2 x 10-4, 22 = 2 x 10-4, 33 = 10-3.

(1.0) a) Sabendo que as direcções x1, x2 e x3 são principais, determine a tensão normal máxima e a tensão tangencial máxima e identifique as facetas em que se verificam.

(1.0) b) Refira o significado físico da constante de compressibilidade volumétrica e do módulo de distorção.

Admitindo 11 = 22 = 12 = 13= 23= 0, 33= 100 MPa:

(1.0) c) determine a constante de compressibilidade volumétrica do corpo;

(1.0) d) sabendo que o corpo se pode deformar livremente devido à variação de temperatura, determine os estados de tensão e deformação que se verificam no mesmo ponto do corpo após este ter sido submetido a um arrefecimento de 20ºC (=10-5/ºC).

(1.0) e) Defina as constantes elásticas que caracterizam um comportamento elástico, linear e ortotrópico.


Na figura estão representados dois maciços de fundação de um edifício, apoiados nas estacas AB e CD. As estacas têm comportamento de Hooke e estão perfeitamente aderentes ao solo de fundação que tem comportamento de Newton (=109GPa.s). Sabendo que o maciço 1 transmite uma tensão de –100 MPa ao conjunto solo-estaca AB e o maciço 2 transmite uma tensão de –50MPa ao conjunto solo-estaca CD:

(1.0) f) determine a relação entre os módulos de elasticidade das duas estacas para que não se verifiquem assentamentos diferenciais a longo prazo (t = ).

(1.0) g) Adoptando EAB = 60 GPa e ECD = 30 GPa, determine o assentamento diferen­cial que se verifica entre os dois maciços ao fim de um ano.




5º Problema (3.0 val)


Um fluido newtoniano isotrópico e incompressível (=0.01 Pa.s, está submetido ao seguinte estado de tensão:

11 = - 4,96 Pa, 22 = -5,01 Pa, 33 = -5,03 Pa, 12 = 13 = 0, 23 = 0.02 Pa.

(1.0) a) Determine a pressão termodinâmica e as componentes do tensor taxa de deformação correspondentes.

(1.0) b) Sabendo que o escoamento é irrotacional, determine as componentes vi,j do gra­dien­te da velocidade.



(1.0) c) Particularize as equações de Navier-Stokes para o fluido considerado.


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