Sonia Barbosa Camargo Igliori Pontifícia Universidade Católica de São Paulo



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UMA CONTRIBUIÇÃO PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM DE NOÇÕES DO CÁLCULO DIFENCIAL INTEGRAL
Sonia Barbosa Camargo Igliori

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

sigliori@pucsp.br
O alvo da mesa redonda: A sala de aula de Matemática na Educação Superior, realizada no âmbito do IX ENEM, é principalmente trazer, aos professores participantes, contribuições para sua atividade profissional. Nossa exposição vai nesse sentido. De início é importante ressaltar que as funções do pesquisador e do professor não são equivalentes. Os tempos de cada um para a reflexão sobre um objeto de conhecimento são distintos. A atividade do professor tem a limitação expressa pela sala de aula e a do é regulada pela comunidade científica. Nós nos encontramos na condição de pesquisador, e assim sendo o que podemos oferecer aos professores trazem os condicionantes da pesquisa. Mas procuraremos, da melhor forma possível, atingir o objetivo da mesa. Trazemos para o debate resultados de pesquisas, desenvolvidas na PUC-SP, de estudos diagnósticos, propostas de abordagens para o ensino de conceitos do Cálculo: infinito, número real, função, derivada, e também, elementos de teorias sobre a formação do conhecimento avançado em matemática.
Palavras chave: cálculo diferencial, pesquisa, sala de aula.
Introdução

Os resultados de pesquisas nem sempre trazem, de imediato, aplicação para a sala de aula. Isto porque o professor tem, na sala de aula, que dar conta da globalidade dos fenômenos que envolvem o processo de ensino-aprendizagem, e o pesquisador os isola para definir uma direção e abordagem de pesquisa. Assumindo essa perspectiva esperamos nessa mesa redonda poder, ao menos, evidenciar para os professores participantes, certos aspectos da complexidade da aquisição de conhecimentos matemáticos avançados, e com isso dividir com eles o encargo de levá-la em conta em suas práticas de ensino.

As pesquisas relativas ao processo ensino-aprendizagem no nível superior tomaram maior fôlego, na área da Educação Matemática, nas décadas de 80 e 90. Os pesquisadores puderam de pronto, usufruir dos conhecimentos acumulados sobre esse processo nos níveis básicos de ensino, mas era fundamental buscar compreender as especificidades desse nível de ensino, quando estão em jogo a formação do pensamento avançado, outra faixa etária e a especialização dos cursos. Sob algum aspecto há similaridades entre os níveis de ensino, pois certas noções da Matemática são ensinadas nos primeiros anos da universidade pela primeira vez, e outras se o são anteriormente na escola básica são abordadas diferentemente. Mas o tratamento específico contribui com um entendimento melhor das dificuldades dos estudantes universitários apresentadas com maior ou menor intensidade nas diversas disciplinas. O Cálculo, possivelmente pelas temáticas envolvendo os limites, está entre as disciplinas que apresentam alto índice de fracasso.
Teorias que orientam o estudo da formação do pensamento avançado

As abordagens teóricas, que se fundamentam na relação representação semiótica/ funcionamento do pensamento como a apresentada por Duval, têm mostrado eficácia para o conhecimento dos fenômenos da aprendizagem no nível superior de ensino. Da mesma forma aquelas que tratam das funções de processo/objeto ou ferramenta/objeto dos conceitos matemáticos como as apresentadas por Sfard e Douady respectivamente.

O enfoque teórico de Otte, buscando os aspectos complementares das conceituações dos objetos matemáticos; as contribuições teóricas de Tall e Vinner introduzindo os conceitos imagem e definição, as noções de interiorização e encapsulação de Dubinsky, entre outros têm contribuído para explorar a especificidade da formação do pensamento avançado em matemática.
Nossa Contribuição para o debate

Apresentamos a seguir, de forma sintética, alguns elementos de pesquisas desenvolvidas sob nossa orientação:
I. Pesquisas enfocando o conceito de Número Real

I1. Um estudo diagnóstico para identificar concepções de estudantes sobre o conceito de número real.

Neste trabalho buscou-se avaliar o conhecimento de estudantes iniciantes e finalistas de um curso de exatas sobre o número real. Os dados foram colhidos por meio de questionário permitindo efetuar comparação entre os sujeitos investigados e também entre estudantes da França e Israel. Os resultados revelaram concepções semelhantes tanto entre os dois públicos brasileiros quanto entre os estudantes estrangeiros.

Pode-se observar entre os estudantes concepções que os levavam a:

a) Confundir representado (conceito de número) com representação (semiótica);

b) Identificar irracionalidade com representação decimal ilimitada.

c) Associar irracionalidade com “não exatidão”(significando: número não inteiro, número negativo, representação decimal com reticências, número infinito ou não).

d) identificar número com uma aproximação do mesmo (concepção encontrada, porcentual mente, por mais alunos finalista que iniciantes).

Pudemos avaliar que, apesar de ter havido evolução, relativamente ao índice de acertos entre os alunos finalistas em relação aos iniciantes, concepções “inadequadas”, persistiram após um curso introdutório de análise real com abordagem axiomática.

Vale aqui ressaltar que diversos pesquisadores têm analisado “concepções” de estudantes sobre noções matemáticas e possíveis alterações das mesmas por meio de um processo de ensino. Numa referência a Viennot, Mortimer afirma que “Os estudos realizados sob essa perspectiva revelam que as idéias alternativas de crianças e adolescentes são pessoais, fortemente influenciadas pelo contexto do problema e bastante estáveis e resistentes à mudança, de modo que é possível encontrá-las mesmo entre estudantes universitários. Realizadas em diferentes partes do mundo, as pesquisas mostram o mesmo padrão de idéias em relação a cada conceito investigado”.

Os estudos sobre concepções, embasados em reações às teorias piagetianas, têm resultado em propostas construtivistas de ensino. O que pretendemos não é isso, mas apenas, a exemplo de pesquisadores da Educação Matemática como Robinet , Tirosh e Fisichbein, referendar a importância para a melhoria do processo de ensino a busca da identificação das idéias conceituais dos estudantes, bem como aquelas que são persistentes após um estudo mais sistematizado. As concepções prévias dos estudantes sobre merecem ser investigadas numa abordagem de ensino, entendendo que a mudança conceitual não ocorre pela simples substituição das idéias alternativas do estudante por idéias científicas.
I.2 Reta real: conceito imagem e conceito definição

Um estudo diagnóstico, sobre a imagem conceitual e definição conceitual da reta real, de 45 professores de matemática do ensino fundamental e médio em formação continuada, que evidenciou concepções apresentadas pelos professores sobre números reais assemelhadas àquelas dos estudantes; o conceito definição de R envocado por uma maioria desses professores indicava R como união dos conjuntos dos números racionais e irracionais; o conceito definição para o número irracional era o de um número não racional, o qual não trazia contribuição ao conhecimento de propriedades desses números; o conceito imagem evocado, sobre os números racionais e os irracionais, não continha informações que auxiliassem os professores a diferençá-los; as imagens conceituais dos professores, sujeitos da pesquisa, revelavam associação entre representação decimal ilimitada e irracionalidade. Pode-se identificar no conceito imagem de R, a indicação da existência de sucessor, de número próximo de outro, comprometendo a absorção do conceito de densidade da reta real, mostrando-se mesmo quase inexistente para a maioria dos professores. O conceito imagem indicava que os professores concebiam a existência de “vários”, “alguns” e “muitos” números reais entre dois números reais dados. A impossibilidade de representar (ou determinar) antecessor/sucessor em R, criou conflito trazendo com ele a possibilidade de um procedimento capaz de viabilizar aprendizagem. Essas conclusões foram substanciadas pela teoria de Tall e Vinner. As informações foram obtidas por meio de testes diagnósticos e realização de entrevistas.



Para Tall e Vinner um sujeito forma e expressa conceitos imagem e definição de um conceito científico. Os estudantes resolvem problemas matemáticos por meio de seus conceitos imagem quando, muitas vezes, os professores esperam a utilização da definição formal. Buscar conhecer os conceitos imagem de um sujeito sobre um conceito científico, num processo de aprendizagem, pode auxiliar o professor organizar estratégias de aula que os levem em conta e pode assim facilitar a aprendizagem. Uma atuação com essa perspectiva busca tornar um fator de conflito potencial em fator de conflito cognitivo como forma de pretender a reformulação dos conceitos imagem e definição de um aprendiz.
I.3 Os números e a aritmetização do pensamento matemático

Nós desenvolvemos uma série de estudo de caráter epistemológico sobre o conceito de número. Nesses estudos objetivamos tratar da possibilidade de existirem conseqüências cognitivas e didáticas devido às três grandes mudanças ocorridas na Matemática no decorrer dos últimos 200 anos: a aritmetização da Matemática; a mudança na noção de Axioma e a nova noção de objeto matemático para o caso do número. Uma primeira investigação nessa perspectiva focou-se nas análises de Otte sobre as objeções feitas por Russell à forma axiomática de número apresentada por Peano. Otte aponta contradições nelas e as próprias idéias de Russel quando buscava sua fundamentação na Teoria dos Conjuntos. O estudo levou à adoção de uma abordagem complemetarista entre as conceituações de Russel e Peano, indicando que dessa forma é pssível explorar, a contento, a dualidade intensional e extensional do conceito de número. Um segundo estudo, teve por alvo aspectos do desenvolvimento epistemológico do objeto de conhecimento – número – em sua constituição como entidade matemática. Buscou-se investigar os trabalhos de Grassmann, primeiro matemático a propor, mesmo que de forma inconsciente a Axiomatização da Aritmética, tendo por referência principal o artigo: A debate about the axiomatization of arithmetic: Otto Hölder against Robert Graβmann de Mircea Radu, no qual se encontra um debate a respeito da Axiomatização da Aritmética sob dois pontos de vista; por um lado, temos Otto Hölder que acreditava na natureza sintética da Matemática, e assim rejeitava o método axiomático como base para a mesma; por outro lado, Robert Grassmann e Hermann Grassmann que, também, concordam com a idéia de Hölder, pois rejeitam o método axiomático. No entanto, apresentaram uma abordagem da Aritmética, aparentemente, axiomática. No desenvolvimento dessa pesquisa, indicamos que as bases da axiomatização da Aritmética estavam no bojo das grandes transformações ocorridas na Matemática durante o século XIX e início do XX: o aparecimento das Geometrias não-euclidianas, a libertação da Álgebra das veias da Aritmética e o processo intrincado da Aritmetização da Análise. Indicamos também que nesse período, também, desenvolveu-se a discussão da pertinência ou não do uso do método axiomático, como um fundamento da Aritmética. Concluimos que apesar de toda a polêmica desse período, a possibilidade da axiomatização da Aritmética, e a adoção do princípio axiomático nas ciências formais, contribuíram para o avanço das ciências exatas. Num terceiro estudo buscamos investigar uma nova abordagem do conceito de número, aquela apresentada pelo matemático John H. Conway. O interesse, pela conceituação de Conway está na possibilidade dela contemplar os dois aspectos complementares da definição do conceito de número, quais sejam: intensional e extensional. A extensionalidade é expressa pela aplicabilidade do conceito de número como certos tipos de jogos, como o jogo Hackenbush. O estudo dessa abordagem para o conceito de número visou a favorecer o ensino e conseqüentemente a aprendizagem, tendo por pressuposto que número é um dos conceitos fundamentais da Matemática e que suas formas clássicas de conceituação não possibilitam responder de modo único a questão “O que é número?”

A nosso ver um estudo epistemológico de um objeto matemático contribui com a sala de aula, pois pode expor concepções no processo de conceituação desse objeto alertando o professor para elas e auxiliando –o a buscar possíveis reflexos nas dificuldades apresentadas pelo estudante.


II. Sobre o conceito de Função

II.1 Conhecimentos de estudantes universitários sobre o conceito de função

Essa pesquisa norteou-se pela teoria, de Tall e Vinner dos conceitos imagem e definição, e teve caráter diagnóstica. Os sujeitos investigados foram oito estudantes do 2º ano de um curso de Licenciatura em Matemática que já haviam cursado Cálculo I. Os dados foram colhidos por meio de questionário e entrevistas. As análises desses dados permitiram inferir elementos que compõem o conceito imagem, relativo ao conceito de função, mobilizados pelos sujeitos como:


  1. O gráfico de uma função deve ser contínuo;

  2. A noção de continuidade como algo que não se interrompe;

  3. O gráfico de uma função deve ser linear quando é solicitado traçá-lo por dois pontos fixos.

  4. Aceite da função constante com incômodo diante da definição formal percebida como variação

Pudemos perceber que os conhecimentos que os estudantes possuem nem sempre estão disponíveis aos professores, e buscar identificá-los pode ser uma direção fértil para o enfrentamento de suas dificuldades. Revelou também a similaridade entre os conceitos imagem de sujeitos que vivenciam realidades diversas o que fortalece as bases teóricas da Educação Matemática.


III. Sobre o conceito de Derivada

III.1 Significados das representações semióticas do conceito de derivada

Esta pesquisa diagnóstica foi realizada com o objetivo de investigar significados atribuídos às representações semióticas do conceito de derivada, por estudantes universitários que estudaram derivada num curso de Cálculo I. A pesquisa referenciou-se na teoria dos Registros de Representação de Raymond Duval, soobre o funcionamento do pensamento, segundo a qual, um indivíduo para aprender um conceito científico precisa fazer distinção entre, a representação semiótica desse conceito e o conceito mesmo, e ainda que o indivíduo somente tem acesso a esse conceito por meio das representações. Assim essa teoria atribui papel essencial à atribuição de significado às representações de um conceito científico, no processo do ensino-aprendizagem. Os dados foram colhidos por meio de testes e aplicados a 168 estudantes de Cursos de Exatas. A atribuição de significados inadequados às representações semióticas do conceito de derivada, pode se constituir numa das causas de dificuldades para a aprendizagem. A análise dos dados possibilitou inferir que o desenvolvimento da capacidade de articular registros de representação do conceito de derivada com vistas à atribuição dos significados a esses registros é importante para a aprendizagem. Para tanto é necessário que se disponha ao sujeito que aprende diversas situações didáticas que favoreça a articulação de registros, o que nem sempre é garantido nos livros didáticos. Pode-se também extrair da análise dos dados que o fato de um estudante ter habilidade para efetivar conversão entre dois dos registros de um conceito parece não garantir que ele mobilize conjuntamente seus significados. O que é indicado na comparação entre os índices de acerto de questões similares dos dois testes sobre o significado da derivada como taxa de variação instantânea. A apresentação de respostas utilizando o registro figural foi menos encontrada, tanto no registro de partida quando no registro de chegada, em uma conversão. O registro de língua natural foi o mais utilizado nas respostas, seja no caso em que a questão proposta tinha como registro de partida o registro figural, o registro simbólico ou mesmo o registro de língua natural.

O fato de que os diversos registros interferem na compreensão do significado de um conceito é pouco explorado em livros didáticos ficando a cargo do professor levá-lo em conta. E nessa perspectiva são importantes os tratamentos (mudanças no interior de um mesmo registro) e as conversões (mudanças de registros). As conversões não congruentes são as que trazem mais custos cognitivos.


IV. Sobre o conceito de infinito

IV. 1 Infinito: aspectos históricos e cognitivos

A pesquisa enfocou a noção de infinito sob alguns pontos de vista, o epistemológico buscando evidenciar a complexidade dessa noção como um objeto matemático e, o educacional ressaltando o conseqüente efeito da epistemologia na aprendizagem da matemática. Tem por objetivo destacar que o papel fundamental do infinito na constituição do conhecimento matemático impõe a elaboração de estratégias de ensino específicas para superar as dificuldades de ordem cognitiva geradas por essa noção. A noção do infinito na matemática é geradora de obstáculos epistemológicos consagrados no desenvolvimento histórico da matemática, e em particular a noção de infinito atual, acarreta dificuldades persistentes e difíceis de serem enfrentadas. Em especial os paradoxos do infinito, importantes para a compreensão da matemática, indicam que a estrutura lógica que suporta o sistema de articulação de idéias ou raciocínios do universo matemático, que contém o infinito por base, não dá conta de transformar em razão a complexidade desse sistema. Para Fichebein é preciso pensar, no caso do infinito, em termos de modelos que ajudam a resolver várias classes de problemas. Ele define o termo modelo assim: dados dois sistemas A e B, B é definido como modelo de A se é possível transferir propriedades de A em termos de B para produzir descrições consistentes de A em termos de B ou para resolver problemas - originalmente formulados em termos de A - utilizando uma tradução em termos de B.

Na ciência, na matemática, na física, na química, na biologia e na ciência do comportamento, entre outras uma ampla variedade de modelos são usados: analogias, protótipos, diagramas etc. Uma ampla variedade de modelos também é utilizada na didática de ciências e matemática.

Mas, no processo de raciocínio também intervém modelos para os quais não estamos alertas, e que substituem tacitamente alguns dos componentes originais do processo de raciocínio. Tais modelos podem ter sido inicialmente conscientes, mas mais tarde essa origem consciente pode ter sido esquecida. Esses modelos continuam a agir e influenciar o processo de raciocínio sem que o indivíduo se aperceba da sua origem e do seu efeito. Não é verdadeiro que infinito seja igual a infinito em todos os casos. Na teoria cantoriana pode-se assumir a existência de uma escala infinita de conjuntos infinitos não-equivalentes isto é, com cardinais diferentes, a primeira das quais sendo representada por um conjunto de números naturais e a segunda pelo conjunto de números reais. A principal observação não se refere à existência e à influência dos modelos tácitos, formados em nosso pensamento, do domínio do infinito atual, mas é, em nossa opinião, a persistência e o impacto de tais modelos pictoriais nos indivíduos, mesmo naqueles já altamente treinados em matemática e que conhecem a natureza abstrata dos objetos matemáticos. Destacamos como interessante uma situação citada nos trabalhos de Fichebein sobre uma criança de 13 anos que ao ser incitada a comparar os conjuntos de pontos de dois segmentos de comprimentos diferentes, inicialmente hesitou para apresentar reposta e depois concluiu como segue: "Há o mesmo número de pontos nos dois segmentos. Os dois conjuntos são infinitos. Mas, os pontos no segmento maior são maiores". Verificamos que ao tratar de conceitos altamente abstratos ou complexos, nosso raciocínio tende a substituí-los por substitutos mais familiares, mais acessíveis e mais facilmente manipuláveis, que são os modelos mentais. Algumas vezes, os modelos mentais são usados intencionalmente, conscientemente, mas, outras vezes, não percebemos sua presença ou impacto: são os modelos tácitos que têm um efeito considerável em nosso pensamento estratégico e em nossas conclusões.

Nossa pretensão ao trazer esses dados de pesquisa para o debate é o de mais uma vez reforçar a importância da noção de infinito para a constituição do pensamento matemático. Reforçar também que a complexidade epistemológica dessa noção merece atenção dos educadores nas abordagens de seu ensino nos diversos níveis. E, em especial, no ensino do Cálculo em que para muitos de seus de conceitos a noção de infinito é estrutural.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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SERVIDONI, M. C. A axiomatização da aritmética e a contribuição de Hermann Günther Grabmann. . Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, PUC-SP. São Paulo, 2006.




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