SÉries numéricas; uma introduçÃO



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  1. SÉRIES NUMÉRICAS;
  2. UMA INTRODUÇÃO
  1. CEFET – Ba
  2. TEMA: Séries Numéricas
  3. Profa. Edmary Barreto



  1. Introdução

Estritamente falando, a operação de adição só faz sentido quando aplicada a um par de números reais. Porém, devido à propriedade associativa em IR , podemos efetuar uma soma de 3, 4 , 5 , ...,100 ou mais números, sem incorrer em erros. Por exemplo, podemos obter a soma 2 + 3 + 7 como 2 + 3 + 7 = (2 +3) + 7 , ou então como 2 + 3 + 7 = 2 +(3 + 7), o resultado é o mesmo.

Mas, como somar infinitos números, como obter a soma de infinitas parcelas ? No que se segue, vamos estender o conceito de adição para uma infinidade de números e definir o que significa tal soma. Chamaremos estas “somas infinitas” de séries.

  1. Breve Histórico

Exemplos de somas infinitas surgiram há séculos. A fim de obter a área de um segmento parabólico, Arquimedes ( 250 a.C.) necessitou calcular a soma da progressão 1 + ¼ + (¼)2 + (¼)3 + ... = 4/3 . Embora seu cálculo não tenha sido feito por processos infinitos, que eram mal vistos em seu tempo, este foi um dos primeiros cálculos de somas infinitas. Por volta de 1350, utilizando “processos infinitos”, R. Suiseth (mais conhecido como Calculator) resolveu um problema sobre latitude de formas , equivalente matematicamente ao cálculo da soma


(Calculator deu uma longa prova verbal, pois não conhecia representação gráfica)
Nesta mesma época, N. Oresme (C. Boyer, pg. 182) deu a primeira prova que a chamada “série harmônica” é divergente, ou seja,
, agrupando seus termos de modo conveniente, a saber:

Como cada parcela entre parênteses é  ½ , temos que a soma de todas as parcelas pode ser majorada por uma infinidade de parcelas iguais a ½ , que tem soma infinita.

Outros avanços relacionados com séries foram obtidos (em 1668) por J. Gregory e N. Mercator , que trabalharam as chamadas “séries de potências de x” . Estas séries foram usadas para exprimirem funções conhecidas, como sen x, cos x, tg x, etc. Gregory utilizou que a área sob a curva é obtida através da função arctg x . Desse fato, concluiu que



. Este resultado é conhecido como “série de Gregory”
Por sua vez, Mercator usou que a área sob a hipérbole entre 0 e x é ln(1+x), para chegar à expressão (C. Boyer, pgs. 265, 266)
ln(1+x) = , chamada hoje de “série de Mercator” .
Em 1748, L. Euler publicou o texto Introductio in analysin infinitorum, em dois volumes. O primeiro deles versava sobre processos infinitos, entre os quais séries infinitas. Euler era pouco cuidadoso no uso de tais séries, e as manipulava arriscadamente. Usando a série da função sen z = z – z3/3 + z5/5! - ... e de artifícios engenhosos, Euler conseguiu resolver uma difícil questão que J. Bernoulli não tivera sucesso, a de obter a soma dos recíprocos dos quadrados perfeitos. Após alguns cálculos, Euler obteve que (C.Boyer pg 307).
, e daí concluiu que
Outros nomes ilustres no Sec. XIX compõem o cenário que trata da convergência das séries numéricas e das séries de funções, como Lagrange, Laplace, Dirichlet, Fourier, Cauchy, Bolzano e Weierstrass. A seguir trataremos desta questão.

  • Séries Numéricas; O Conceito de Convergência

Exemplos de somas infinitas surgem muito cedo, ainda no Ensino Fundamental, com o estudo das dízimas periódicas. Por exemplo, a soma


0,1 + 0,01 + 0,001 + .... = 0,111... pode ser interpretada como a soma de uma progressão geométrica (com infinitos termos)

de razão , cuja soma é = (veremos mais tarde as
séries geométricas com mais detalhes)
De forma análoga, chamando por exemplo 0,333... = x temos 3, 333... = 10x . Subtraindo-se essas equações ficamos com 9x = 3, ou seja , x = 3/9 = 1/3 . Concluímos daí que

Como pode ser visto no desenrolar da história das séries infinitas, encarar somas infinitas nos mesmos moldes das somas finitas, usando as propriedades das operações, pode nos levar a dificuldades e conclusões equivocadas. Vejamos os seguintes exemplos:




  1. A série de Grandi

Considere a “soma” S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + .....


Utilizando a propriedade associativa de forma conveniente, podemos obter os seguintes resultados

  1. S = (1 – 1) + ( 1 – 1) + ( 1 – 1) +.... = 0

  2. S = 1 + (– 1 + 1) + ( – 1 + 1) + ( – 1 +1 ) + .... = 1

  3. S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1+ ...)  S = 1 – S  2S = 1  S = ½ .

Como decidir então? S = 0, 1 ou ½ ?


O que acontece neste exemplo é que as operações que são válidas para somas finitas, como a associatividade, por exemplo, não são válidas em geral para somas infinitas.

2. O paradoxo de Zenão
No século V A.C. Zenão ( ou Zeno de Eléia) apresentou o seguinte problema: “ Para se caminhar um quilômetro devemos caminhar primeiro meio quilômetro. Para caminhar este meio quilômetro devemos caminhar um quarto de quilômetro. Para caminhar este um quarto de quilômetro devemos antes caminhar um oitavo de quilômetro e assim indefinidamente”. Zenão colocou que este movimento era impossível pois sequer se iniciaria!

A origem do paradoxo é que não podemos realizar um número infinito de tarefas num tempo finito. Mas o quilômetro permanece inalterado pela nossa decomposição em meio quilômetro, mais um quarto de quilômetro, mais um oitavo de quilômetro, etc...Assim,



. Este resultado pode ser pensado como a soma de uma PG infinita de razão . ( ) . Logo ( Deduziremos esse resultado )
3. A série harmônica

A série harmônica é a série

Os termos da série harmônica estão decrescendo e tendendo para zero. À primeira vista parece que a “soma” tende a um número finito.

Hoje em dia, com o uso do computador, podemos fazer cálculos experimentais interessantes:

Vamos supor que levamos 1 segundo para somar cada termo.


  • Uma vez que o ano tem aproximadamente 31.557.600 segundos, neste período de tempo seríamos capazes de somar a série até n = 31.557.600, obtendo para a soma um valor pouco superior a 17.

  • Em 10 anos a soma chegaria perto de 20.

  • Em 100 anos, esta soma estaria a pouco mais de 22.

Tudo leva a pensar que esta soma tende a um valor finito. No entanto, isto é falso! Esta série tem soma infinita. Vimos acima, na apresentação histórica, o argumento de Oresme.


Para melhor compreender e trabalhar as questões aqui colocadas precisamos de um conceito consistente para a soma de um número infinito de números reais. Vamos introduzir a seguinte terminologia

Uma série infinita é uma expressão que pode ser escrita na forma

onde os números a1, a2, a3, .... são chamados de termos da série e an de termo geral da série

Voltemos à nossa dízima 0,111... = 0,1 + 0,01 + 0,001 +.... =

Vamos considerar o valor da soma tomando um termo, dois termos, três termos, etc. Cada soma dessa é chamada de soma parcial e é termo de uma seqüência







..........................................
A seqüência dos números s1, s2, s3, s4,....pode ser interpretada como uma seqüência de aproximações do valor de 1/9.

À medida que tomamos mais termos da série infinita a aproximação fica melhor o que nos sugere que a soma desejada deve ser o limite dessa seqüência de aproximações. Para comprovar este fato vamos calcular o limite dessa seqüência, quando o número n de termos tomados tende a um número cada vez maior, isto é, n  .


Temos que (I )

Vamos dar uma outra expressão para sn de modo a facilitar o cálculo do limite


Multiplicando sn por obtemos (II )

Subtraindo agora ( I )  ( II )



Calculando agora que é o valor já esperado para a soma.


No processo que fizemos no exemplo anterior, construímos uma seqüência de somas finitas e o limite dessa seqüência correspondeu ao valor da soma, uma vez que

O exemplo acima motiva a definição mais geral do conceito de “soma” de uma série infinita.


Consideremos a série e vamos formar uma seqüência de somas da seguinte maneira:

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

...........................

sn = a1 + a2 + a3 +...+an = sn-1 + an =

A seqüência é chamada de seqüência das somas parciais da série e sn é chamado de n-ésima soma parcial .

Quando n cresce, as somas parciais incluem mais e mais termos da série. Logo, se quando n  + a soma sn tender a um valor finito, podemos tomar este limite como sendo a soma de todos os termos da série . Mais formalmente, temos:

Seja uma série dada e a sua seqüência de somas parciais.Se ( isto é, existe e é finito) dizemos que a série é convergente a S e que S é a sua soma.. Indicamos = S. Caso contrário a série diverge e portanto não tem soma.

Observações:


  1. Os símbolos a1 + a2 + a3 +...+ an + ….= tanto são usados para indicar uma série como a sua soma que é um número. Rigorosamente o símbolo só deveria indicar a série no caso dela convergir.

  2. O índice da soma de uma série infinita pode começar com n = 0, no lugar de n = 1. Neste caso consideramos a0 como o primeiro termo da série e so = ao a primeira soma parcial.



Exemplos:
1) A série tem termo geral e seqüência das somas parciais é


( Existem técnicas para mostrar que e portanto a série diverge)
2)

Consideremos as somas parciais

s1 = 1

s2 = 1 – 1 = 0

s3 = 1  1 + 1 = 1

s4 = 1  1 + 1  1 = 0


A seqüência das somas parciais é 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... e portanto o limite não existe e a série diverge.
3) Dada a série , determine:

  1. Os quatro primeiros termos da série

  2. A seqüência das somas parciais

  3. Se a série é convergente.



Solução:

a)


b)





Tudo leva a crer que

De fato:





.................






c) Para analisarmos a convergência calculamos

Logo, a soma da série é



4) O número e como soma de uma série
Já vimos que o número e pode ser definido como = 2,718281828...
Podemos também mostrar que a série
Vamos avaliar algumas somas parciais
s0= 1
s1 = 1 + 1 = 2












Observemos que desde a soma parcial s7 já temos precisão até a 4a casa decimal !!


  1. A Série Geométrica

O nosso primeiro exemplo de série infinita 0,1 + 0,01 + 0,001 + .... é um caso particular de uma série especial, chamada série geométrica.


Uma série do tipo onde a  0 é chamada de série geométrica e o número r é chamado de razão da série.

Observação: A série geométrica também pode ser dada na forma , ou mais geralmente,
Exemplos:

  1. 0,1 + 0,01+ 0,001 + 0,0001 + ... = é uma série geométrica de razão r = 1/10 e a = 1.

  2. 3  3.2 + 3.22  3.23 + 3.24 ..... = é uma série geométrica de razão r = 2 e a = 3

O resultado seguinte nos diz quando a série geométrica é convergente e quando é divergente

A série geométrica a  0 e r R


  • Converge para se

  • Diverge, se

Demonstração:


1)

i) r = 1


Se r = 1 a série fica e portanto a n-ésima soma parcial é sn = (n+1)a e portanto ( o sinal depende de a ) e a série diverge.

ii) r = –1


Se r = –1 a série fica .

A seqüência das somas parciais nesse caso fica a, 0, a, 0, a, 0,..... e portanto a série diverge pois o limite de sn não existe.


2)


Consideremos a seqüência das somas parciais :

( I )

( II )

Subtraindo ( II ) de ( I ): . Logo, . Calculando o limite obtemos:



Exemplo: Verifique se as seguintes séries geométricas são convergentes e em caso afirmativo determine a sua soma :
1) 2) 3) 4) 5) 6)
Alguns resultados importantes


  1. Teste da divergência


  2. Se então é divergente

  3. Se então pode convergir ou divergir

Observações:


  1. O resultado acima é também chamado de Critério do Termo Geral (CTG) para a convergência de série, ou condição necessária para a convergência de uma série.

  2. Se converge então .

  3. Através do resultado do limite do termo geral, podemos garantir a divergência de certas séries. Exemplo: diverge, pois .

  4. Como dito acima, se nada podemos afirmar sobre a série . Ela pode ou não convergir. Por exemplo, temos , mas a série diverge .

5. A convergência ou divergência de uma série não é afetada pela retirada ou o acréscimo de um número finito de termos.


6. Se converge, a série obtida de acrescentando-se ou suprimindo-se alguns termos também converge, mas para valor em geral diferente da soma . Por exemplo:

a) As séries e são ambas convergentes, mas para valores diferentes.

b) As séries e são ambas divergentes
7. Se e são duas séries convergindo a S e R respectivamente, então

i) A série converge a S  R.

ii) A série converge a kS., k  R

iii) Se é convergente e é divergente, então é divergente.


iv) Se é divergente e k , então é divergente.
Observação: Se e são duas séries divergentes nada se pode afirmar sobre . Exemplo: As séries divergem e converge a 0.
Exemplo: Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, calcule a soma:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

Referências Bibliográficas:



  1. O Cálculo com Geometria Analítica, vol II – Louis Leithold

  2. Cálculo – Um Novo Horizonte, vol II – Howard Anton

  3. Cálculo – vol II – James Stewart

  4. História da Matemática – Carl Boyer


  1. TEMA: Séries Numéricas: Critérios de Convergência


  1. Alguns Critérios de Convergência para Séries Numéricas

Em geral é difícil decidir através do estudo das seqüências das somas parciais se uma série é convergente ou divergente, principalmente porque nem sempre é possível estabelecer uma expressão geral para sn.

Vimos, até então, o caso da série geométrica, que sabemos através da sua razão se converge ou não e, no caso de convergir, qual é a sua soma. Calculamos também a soma de algumas séries em que a expressão de sn foi obtida com certa facilidade.

Vamos estudar alguns testes ou critérios que nos permitem decidir sobre a convergência de uma série, mesmo que no caso da série ser convergente não possamos dizer o valor da sua soma. Neste caso, podemos aproximar a soma por uma soma parcial com termos suficientes para atingir o grau de precisão desejado.




  1. A p- série

Vamos assumir sem demonstração o seguinte resultado


A p-série ( p > 0 )

  • converge se p > 1

  • diverge se 0 < p  1


Observações:


  1. A p-série é também chamada de série hiper-harmônica

  2. A série harmônica é um caso particular de uma p-série ( p = 1 ) e como já tínhamos colocado, diverge.

  3. O resultado acima pode ser demonstrado através de um critério chamado de Critério da Integral

Exemplos
1) diverge ( p = 1 )


2) A série converge ( p = 2 )
3) A série diverge ( p = ½ )
II ) Teste da Comparação (TC)
Dadas as séries e , an > 0; bn > 0 e an  bn , n, temos que

  • Se converge então converge.

  • Se diverge então diverge.


Observações:


  1. Este teste é também chamado teste do confronto ou comparação simples

  2. Se an  bn e diverge nada podemos afirmar sobre

  3. Se an  bn e converge nada podemos afirmar sobre

  4. O teste também se aplica se temos an  bn n > no

  5. Vamos utilizar séries geométricas e p-séries para servirem de comparação


Exemplo: Analise o comportamento das seguintes séries usando o teste da comparação simples
1)
Solução: . Uma vez que diverge temos que também diverge
2)
Solução: . Uma vez que a série converge temos que também converge.


  • III) Séries Alternadas

Uma série alternada é uma série que se apresenta numa das formas



  • an > 0; n ou

  • an > 0; n


Exemplos:

1)

2)
O resultado a seguir nos dá um teste para analisar a convergência das séries alternadas

  • Teste de Leibniz

Se a série alternada (an > 0 ; n ) é tal que

i)

ii) ( a seqüência é decrescente )


Então a série dada é convergente.
Além disso se S é a soma da série temos que



Observação: A desigualdade significa se uma série alternada satisfaz as hipóteses do Teste de Leibniz, o erro que resulta em aproximar S por sn é menor que o primeiro termo que não foi incluído na soma parcial

Exemplo: Estude quanto à convergência as seguintes séries
1) ;
Solução: i) ii) A seqüência é decrescente.
A série portanto converge. Observemos que esta série é a série harmônica ( que diverge ) alternada
Se considerarmos, por exemplo, a soma = 0,58333.. o erro cometido é menor que a5 = 1/5 = 0,2
De fato, veremos mais tarde que esta série tem por soma ln2. Se calcularmos ln2 = 0,69314718... e tomarmos a diferença 0,69314718...  0,58333.... = 0,1098... que é menor que 0,2

Esta série não é uma boa série para aproximar ln2 pois a convergência é muito lenta. Só obtemos uma boa aproximação tomando um número muito grande de termos.


2)
i) ; ii) Para mostrar que a seqüência é decrescente, consideramos a função e calculamos a sua derivada. < 0 o que garante que a função é decrescente para x > 2.. ( De fato: . O arco está no 1o quadrante e o cosseno é positivo )
  • IV) Os testes da Razão e da Raiz

Para enunciar os testes da Razão e da Raiz vamos introduzir o conceito de séries absolutamente convergentes


Analisando exemplos vistos anteriormente podemos observar que

A série é convergente e a série é divergente

A série é convergente e a série = também é convergente
Temos a seguinte definição:
Dada a série temos que:


  1. Se a série converge dizemos que a série é absolutamente convergente

  2. Se a série converge e diverge dizemos que é condicionalmente

convergente.

Exemplos:

  1. A série é condicionalmente convergente

  2. A série é absolutamente convergente

  3. A série é condicionalmente convergente

  4. A série é absolutamente convergente

Toda série absolutamente convergente é convergente, ou seja:


se converge então também converge


Exemplo: Pelo resultado anterior podemos concluir que a série que não é de termos positivos nem alternada é convergente.

Observações:

  1. Temos que converge. A recíproca não é verdadeira. convergir não implica que também converge. Exemplo:

  2. Se diverge nada podemos afirmar sobre . Pode convergir ou divergir.

  3. Se diverge podemos garantir que diverge pois, caso contrário, seria convergente.



  • Teste da Razão para a Convergência Absoluta ( TRZ)

Seja a série e considere o limite



  • Se k < 1 a série é absolutamente convergente, logo convergente

  • Se k > 1 ( ou ) a série diverge

  • Se k = 1 nada podemos concluir por este critério



  • Teste da Raiz para a Convergência Absoluta ( TRI )

Seja a série e considere o limite



  • Se k < 1 é absolutamente convergente, logo convergente

  • Se k > 1 ( ou ) a série diverge

  • Se k = 1 nada podemos concluir


Observações:


  1. Os Testes da Razão e da Raiz são gerais podendo ser aplicados em qualquer série. Garantem a convergência absoluta ( k < 1 ) ou a divergência da série ( k >1 ).

  2. Tanto no Teste da Razão quanto no Teste da Raiz podemos concluir a divergência se os respectivos limites forem +




  1. Se k = 1 no Teste da Razão então k = 1 no Teste da Raiz. Ou seja, se encontrarmos k = no Teste da Razão, não é mais necessário testar com o outro critério.


Exemplo: Use os Testes da Razão ou a Raiz para analisar a convergência das seguintes séries:
1)

Em geral quando a expressão do termo geral da série envolve fatorial o critério mais indicado é o da razão


.

Concluímos então que a série é convergente



2)
Vamos usar o teste da raiz: . Portanto, a série diverge.



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