Tecnologias no ensino e aprendizagem de trigonometria



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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE FÍSICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA


TECNOLOGIAS NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE TRIGONOMETRIA:

UMA META-ANÁLISE DE DISSERTAÇÕES E TESES BRASILEIRAS

Porto Alegre

2012


TECNOLOGIAS NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE TRIGONOMETRIA:

UMA META - ANÁLISE DE DISSERTAÇÕES E TESES BRASILEIRAS NOS ÚLTIMOS CINCO ANOS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática, da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.




Porto Alegre


2012

D

ados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)



F

olha de aprovação



A

GRADECIMENTOS

Agradeço

Primeiramente por me proporcionar a alegria de viver e concretizar meus sonhos.

Ao Professor ... pelo carinho, dedicação e paciência com que me orientou durante o longo percurso deste trabalho, contribuindo para meu amadurecimento como pesquisadora e como profissional.

Ao Professor ..., pela dedicação e por ter sido meu norte em muitos momentos.

Aos professores que ministraram disciplinas durante o curso de Mestrado, pelos ensinamentos a mim concedidos, proporcionando momentos de reflexão e experiências.

Aos meus pais, ..., pelo incentivo, paciência e pelo apoio financeiro em muitas ocasiões.

Ao meu irmão, ..., que me apoiou e incentivou em todas as jornadas.

A toda minha família que direta ou indiretamente me apoia.

Aos colegas de Mestrado pelo companheirismo e disponibilidade.

E, a todos que sempre torcem por mim: Muito obrigada!


Ensinar exige compreender que a educação é uma forma de intervenção no mundo”.



Paulo Freire

R

ESUMO

O presente estudo tem como objetivo analisar como as dissertações e teses brasileiras em Educação Matemática nos últimos cinco anos utilizam a tecnologia no ensino e aprendizagem de Trigonometria. O conteúdo selecionado para análise compõe-se de sete dissertações publicadas nos últimos cinco anos na área de Educação Matemática. A seleção desses trabalhos se deu por meio da busca de dissertações e teses segundo alguns instrumentos de pesquisas e critérios pré-determinados, em que fomos conduzidos a nos atermos às dissertações, por não encontrarmos teses no tema. Metodologicamente esse estudo se caracteriza como um estudo documental denominado meta-análise qualitativa na qual se procura fazer uma revisão sistemática de um conjunto de pesquisas, visando à realização de uma síntese dessas produções. É apresentada uma comparação desses estudos, mais especificamente, entre seus objetivos, referenciais teóricos, recursos tecnológicos utilizados e metodologia. Os resultados atestam que os autores procuraram atender aos objetivos a que se propuseram. A maioria das dissertações selecionadas se volta para os conceitos básicos da Trigonometria, especialmente os conceitos seno e cosseno, e sua representação no plano cartesiano. Também esta investigação exibe que dois dos trabalhos são pautados nos mesmos referenciais teóricos: Registros de Representação Semiótica de Duval e os demais fazem uso dos seguintes autores: Ausubel, Borba e Penteado, Brousseau, Valente, Vergnaud e Zulatto, além de um não apresentar explicitamente o referencial teórico adotado. Verifica também que quatro dos trabalhos não se atem explicitamente a um referencial teórico-metodológico e que três outros explicitam fundamentar-se em: Engenharia didática com base em Artigue. Além disso, todos os trabalhos convergem quanto ao recurso tecnológico utilizado: software, sendo que o software Geogebra aparece em seis das dissertações selecionadas. Com isso, o presente estudo indica resultados que podem subsidiar futuras investigações, destacando a carência em alguns pontos ainda a serem pesquisados dentro do tema aqui tratado: investigações que focalizem a Trigonometria e abarquem as diversas TIC.
Palavras-chave: Meta-análise qualitativa. Trigonometria. Tecnologias. Ensino. Aprendizagem.
A

BSTRACT


The present study aims to analyze how the Brazilian thesis and dissertations in Mathematics Education in the last five years using technology in teaching and learning Trigonometry. The content selected for analysis consists of seven dissertations published in the last five years in the area of Mathmatics Education. The selection of these papers took place through the search of dissertations and thesis according to some research instruments and criteria previously determined, what led us to concentrate only on the dissertations, due to the fact the we did not find thesis about the main theme. The methodology characterizes itself as a documental study denominated qualitative meta-analysis which makes a systematic revision of searches set, aiming a synthesis of these productions. It is presented a study confront, more specifically of their objectives, theoretical and theoretical- methodological framework, and conclusions. The results show that the authors sought to meet the goals they have set. Most dissertations selected turns to the basic concepts of Trigonometry, especially the concepts sine and cosine, and their representation in the Cartesian plane. In addition, this study shows that two the works are ruled in the same theoretical referential systems: Records Semiotic Representation of Duval and others make use of the following authors: Ausubel, Borba and Penteado, Brousseau, Vergnaud and Zulatto, plus a not explicitly present the theoretical approach. It can be noted that four of the papers do not explicitly relate to a methodological-theoretical referential and that three others are based on: Engineering didactic on basis of Artigue. Moreover, the papers converge according to the type of technologies of information and communication used: software, considering that the software Geogebra appears in six of the selected dissertations. Therefore, this study indicates results that can subsidize future investigations, emphasizing the need of further research in some points about the theme of this study: investigations that focus the Trigonometry and include several TIC.
Kew words: Qualitative meta-analysis. Trigonometry. Technologies. Education. Learning.

L

ISTA DE FIGURAS


Figura 1 - O Jiva........................................................................................................................29

Figura 2 - Teorema de Ptolomeu...............................................................................................31

Figura 3 - Associação entre um número real e seu seno através do ponto correspondente no ciclo...........................................................................................................................................33

Figura 4 - O seqt egípcio...........................................................................................................34

Figura 5 – O gnômon................................................................................................................35

Figura 6 – A ideia do Raio 1 de Al Battani...............................................................................37

Figura 7 - Fórmula usada para construir a tabela de Al Battani...............................................37

Figura 8 - Representação geométrica da tangente e da secante................................................38


L

ISTA DE TABELAS

Tabela 1 – O conteúdo de Trigonometria nas competências Investigação e Compreensão e Contextualização sociocultural.................................................................................................43

Tabela 2 – Dissertações selecionadas para análise...................................................................50

Tabela 3 – Modelo de fichamento.............................................................................................51

Tabela 4 – Comparação dos objetivos......................................................................................67

Tabela 5 – Síntese dos objetivos...............................................................................................68

Tabela 6 – Síntese dos referenciais teóricos.............................................................................69

Tabela 7 – Síntese dos referenciais teóricos-metodológicos....................................................70

Tabela 8 – Comparação dos referenciais teóricos-metodológicos............................................70

Tabela 9 – Síntese de metodologias e/ou procedimentos de pesquisa......................................72

Tabela 10 – Síntese dos recursos tecnológicos utilizados.........................................................73

Tabela 11 – Comparação das vantagens e das desvantagens apontadas no Geogebra.............74

Tabela 12 – Comparação das vantagens e das desvantagens apontadas no Graphmatic..........75



L

ISTA DE SIGLAS

CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

DCN – Diretrizes Curriculares Nacionais

IDEB – Índice de Desenvolvimento da Educação Básica

LDB – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

MEC – Ministério da Educação e Cultura

OCEM – Orientações Curriculares para o Ensino Médio

PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais

PCNEM – Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

PCN+ - Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais

PISA – Programa Internacional de Avaliação de Alunos

TIC – Tecnologias da Informação e Comunicação
SUMÁRIO



  1. INTRODUÇÃO

A tecnologia está cada vez mais presente em nosso cotidiano e o seu uso é essencial. Estamos cada vez mais envolvidos e dependentes da utilização dos recursos computacionais. Nesse contexto, um dos desafios para a Educação, em especial para a Educação Matemática, é a integração das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) na prática pedagógica. Conforme Papert (1994, p.10), “a escola é um notável exemplo de uma área que não mudou tanto. Pode se dizer que não houve qualquer mudança na maneira como nós distribuímos a educação aos nossos estudantes”.

Para atender a esse desafio, os professores de Matemática precisarão estar dispostos a buscar novas formas de ensinar e aprender que possibilitem a construção de práticas coerentes para o uso dessas tecnologias.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) trazem um destaque para o estudo da Trigonometria, no qual é enfatizado seu potencial para desenvolver habilidades e competências.


Outro tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com o desenvolvimento de habilidades e competências é a Trigonometria, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações [...] (BRASIL, 1999, p.257).
Como professora é possível perceber que, muitas vezes, para o aluno, o conteúdo de Trigonometria não é compreendido, uma vez que geralmente é introduzido sem nenhuma ligação com a vida cotidiana. Assim sendo, a Trigonometria, que é um ramo da Matemática que ajuda o Homem a compreender e interpretar a Natureza pode ser, para nossos alunos, apenas um assunto abstrato e sem utilidade.

Parece-nos, que da forma como está posto o ensino, os educandos, a partir das exigências impostas pelo sistema, respondem atividades matemáticas (exercícios, testes, provas), porém, não se sabe se a aprendizagem está resultando numa aprendizagem com real significado, ou se apenas está havendo uma memorização ocasional dos assuntos para o cumprimento das atividades solicitadas.


Assim, as funções da Matemática e a presença da tecnologia nos permitem afirmar que aprender Matemática deve ser mais do que memorizar resultados dessa ciência e que a aquisição do conhecimento matemático deve estar vinculada ao domínio de um saber fazer Matemática e de um saber pensar matemático (BRASIL, 1998, p.252).
A alternativa para superar as dificuldades enumeradas é a utilização de tecnologias na sala de aula, pois elas estão presentes em nosso cotidiano e cada vez mais exercem um papel fundamental na educação, especialmente na Educação Matemática. Borba e Penteado (2001) afirmam que as novas mídias, como os computadores, enfatizam o aspecto da experimentação. Esta por sua vez se torna algo fundamental, à medida que inverte a ordem de exposição oral da teoria com exemplos e exercícios bastante usuais no ensino tradicional, e possibilita uma nova ordem que parte da investigação até chegar à dos conceitos.

Segundo Ponte (2000), as TIC podem ter um impacto muito significativo no ensino de disciplinas específicas, como a Matemática: pois seu uso pode reforçar a importância da linguagem gráfica e de novas formas de representação, valorizar as possibilidades de realização de projetos e atividades de modelação, exploração e investigação.

Esta pesquisa não só pode colaborar para a prática docente como também mostrar possíveis caminhos de pesquisa no contexto da Educação Matemática. Borba e Penteado (2001) apresentam ganhos no uso das TIC na Educação Matemática apontando argumentos favoráveis ao uso desses recursos.
Pesquisas já feitas em nosso grupo de pesquisas, GPIMEM – Grupo de Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação Matemática -, apontam para a possibilidade de que trabalhar com os computadores abre novas perspectivas para a profissão docente. O computador, portanto, pode ser um problema a mais na vida atribulada do professor, mas pode também desencadear o surgimento de novas possibilidades para o seu desenvolvimento como um profissional da Educação (BORBA; PENTEADO, 2001, p. 15).
A motivação do presente estudo surgiu a partir de nossa prática, tanto como docente quanto como pesquisadora, em ensino de Matemática e pela carência de pesquisas sobre Trigonometria no Ensino Básico, pois um trabalho como este pode nos dar uma visão relativamente ampla do assunto, podendo desta forma nortear futuras investigações.

Para Ferreira, esse estudo é feito pela motivação de conhecer o que já foi produzido e segundo a autora:


Essa compreensão do estado de conhecimento sobre um tema, em determinado momento, é necessária no processo de evolução da ciência, afim de que se ordene periodicamente o conjunto de informações e resultados já obtidos, ordenação que permita indicação das possibilidades de integração de diferentes perspectivas, aparentemente autônomas, a identificação de duplicações ou contradições, e a determinação de lacunas e vieses (FERREIRA, 2002 apud SOARES, 1987, p.3).
A busca de alternativas para ensinar a Matemática utilizando recursos associados às tecnologias tem sido amplamente investigada nos últimos anos, por meio de dissertações e teses. Dessa forma, esta pesquisa tem o intuito de analisar como as dissertações e teses brasileiras abordam o ensino e a aprendizagem de Trigonometria com o uso de tecnologias nos últimos cinco anos e também para futuramente auxiliar professores e pesquisadores em suas práticas, poupando tempo para pesquisá-las como um todo, pois segundo Ferreira (2002) essa categorização é a reunião de tudo o que se tem no avanço da ciência, é a possibilidade de otimização de pesquisas ganhando tempo e obtendo um maior número de informações poupando muitas vezes até esforço físico.

Este volume está dividido em seis capítulos, sendo o primeiro esta seção, intitulada introdução. Neste primeiro capítulo, foram apresentados o tema, sua importância e o intuito principal do presente estudo. A seguir serão explicitados o objetivo geral e os objetivos específicos, o problema de pesquisa e as questões de pesquisa.

No capítulo 2 apresenta-se o referencial teórico desta dissertação, onde se obtém acesso aos autores que fundamentam este trabalho, oriundos de revisão bibliográfica que consultou livros, artigos em periódicos, dissertações de mestrado e teses de doutorado da área. Tal capítulo abrangerá a presença da tecnologia na Educação Matemática, uma breve revisão histórica da Trigonometria e o ensino de Trigonometria em documentos oficiais.

No capítulo 3 apresenta-se a descrição da metodologia utilizada na pesquisa e o caminho para a realização da investigação, com a caracterização do tipo de pesquisa, onde se tornam explícitos os pressupostos metodológicos assumidos pela autora.

O capítulo 4 consiste no fichamento de todos os trabalhos escolhidos para a confecção desse estudo, onde foram selecionadas e recortadas passagens pertinentes a nossa análise sem alterar os registros dos autores. Esta etapa tem como objetivo organizar os dados coletados para as posteriores comparações que serão feitas no capítulo seguinte.

A meta-análise qualitativa das dissertações é apresentada no capítulo 5, onde é realizada uma síntese parcial por meio dos resultados obtidos pelos fichamentos. Para isso, realiza-se uma meta-análise qualitativa, comparando os objetivos, os referenciais teóricos, os recursos tecnológicos utilizados e as metodologias.

O capítulo 6 apresenta as considerações finais onde a autora descreve as conclusões que obteve após a realização desta pesquisa. Ao final são colocadas as referências utilizadas para redação deste volume.



    1. OBJETIVO GERAL

Analisar como as dissertações e teses brasileiras em Educação Matemática nos últimos cinco anos utilizam a tecnologia no ensino e aprendizagem de Trigonometria.




    1. OBJETIVOS ESPECÍFICOS




  • Identificar, no âmbito nacional, dissertações e teses que apresentem como objeto de investigação o uso de tecnologias no ensino e aprendizagem de Trigonometria.

  • Comparar os objetivos, os referenciais teóricos, os recursos tecnológicos utilizados e as metodologias nas dissertações e teses identificadas.

  • Fazer um comparativo das vantagens e desvantagens apontadas nos estudos de cada recurso tecnológico utilizado.




    1. PROBLEMA DE PESQUISA

Quais vantagens e desvantagens a utilização de novas tecnologias traz para o ensino e aprendizagem de Trigonometria, sob a perspectiva de dissertações e teses brasileiras nos últimos cinco anos?




    1. QUESTÕES DE PESQUISA




  • Que características apresentam as dissertações e teses encontradas?

  • Para que objetivo as dissertações e teses se voltam? Eles são respondidos? Há alguma convergência no emprego de referenciais teóricos? Que tecnologias da informação e comunicação são empregadas? Há alguma privilegiada? As dissertações e teses se pautam em referenciais teórico-metodológicos? Ou apresentam procedimentos de pesquisa sem explicitarem referenciais teórico-metodológicos?

  • As dissertações e teses analisadas apresentaram vantagens e/ou desvantagens no uso da tecnologia para o aprendiz no ensino e aprendizagem de Trigonometria? Quais as vantagens apresentadas? Quais as desvantagens apresentadas?





  1. REFERENCIAL TEÓRICO

Este capítulo foi organizado a partir da análise de livros, artigos, publicações em eventos, que abordam aspectos relacionados com o trabalho investigativo realizado, enfatizando os seguintes aspectos: a presença da tecnologia na Educação Matemática, uma breve revisão histórica da Trigonometria e o ensino de Trigonometria em documentos oficiais.




    1. A PRESENÇA DA TECNOLOGIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

As tecnologias, em diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que exercem nos meios de produção e por suas consequências no cotidiano das pessoas.

Ferreira (1993) define tecnologia como “o conjunto de conhecimentos, especialmente princípios científicos, que se aplicam a um determinado ramo da atividade”. Assim, as tecnologias podem ser consideradas quaisquer instrumentos usados para facilitar a execução de uma determinada tarefa.

No campo da educação, para os que propõem a inserção de tecnologias no cotidiano da sala de aula, sempre existiu a expectativa de que tecnologias recentes pudessem colaborar de forma substantiva para a melhoria da qualidade dos processos de ensino e aprendizagem. Há expectativas em torno do possível desenvolvimento de ferramentas computacionais a serem utilizadas como novos recursos didáticos e, devido às novas formas de comunicação existe também a expectativa de uma possível transformação na estrutura rígida das aulas – tradicionalmente centradas na figura do professor. Nessa direção, há quase 20 anos, Almeida Jr (1988, apud CORREIA LIMA, 1997) acreditava que “com o aprimoramento dos veículos de comunicação à distância, as escolas deixariam de ser o meio mais informativo de leitura da realidade”.

Segundo Moreira (2000), existe uma necessidade de se dinamizar a educação brasileira, buscando novas formas de inovar e renovar o ensino para que não continue o tradicional educar, ainda presente nas escolas brasileiras, sem foco na criticidade e aprendizagem significativa do aluno.

Prensky (2010) afirma que “os estudantes de hoje não são mais as pessoas para os quais nosso sistema educacional foi desenvolvido”. Dessa forma, acredita-se que os professores, fazendo uso das TIC, poderão criar situações que proporcionarão aprendizagem aos seus alunos.

O ensino e a aprendizagem da Matemática apresentam-se como fatores preocupantes. Ao observarmos os índices de desempenho dos estudantes nas avaliações do IDEB (Índice de Desenvolvimento da Educação Básica) e do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alunos), é possível detectarmos o baixo desempenho dos estudantes brasileiros. Dessa forma, é necessário investir em estratégias de ensino, de modo que os alunos sejam capazes de organizar e administrar seu aprendizado o que requer consciência da própria capacidade de raciocínio e de táticas.

É indispensável criar novos processos e métodos para o trabalho pedagógico, investindo nas TIC, adequando-as ao atendimento destas necessidades de demanda, utilizando-as especialmente como ferramenta a serviço da formação permanente e continuada das pessoas na busca do conhecimento.

Para Moran (2007) o ensino com tecnologias não resolve os problemas da educação, pois estes estão ligados ao próprio processo de ensinar e aprender, dois dos grandes desafios dos dias atuais. No entanto, ao fazer uso das TIC o professor passa a ter uma garantia adicional quanto à pertinência de suas aulas, pois todo o avanço promovido por esses recursos possibilita e contribui para que os alunos tornem-se mais críticos, reflexivos e inseridos num mundo cada vez mais digital. Para Demo (2000), por exemplo, por si só, o uso das tecnologias já se configura como algo que chama a atenção do educando. Trata-se, de algo a ser explorado. Além disso, ao permitir ao estudante o contato com estas ferramentas estaremos estimulando as pluralidades sensoriais do educando, enriquecendo assim, as diferentes formas de (re)significação da realidade.

Entretanto, com o desenvolvimento das tecnologias elas trazem consigo novas exigências de competências no paradigma educacional, impondo adaptações difíceis de serem superadas, tanto na formação inicial como na continuada do professor.

A maioria dos professores ainda não possuem essa desenvoltura em frente ao computador e, para eles, trabalhar com recursos computacionais é um grande desafio, pois muitos na graduação não obtiveram a formação adequada para atuar em sala de aula fazendo uso das tecnologias. Estudos como o de Morona (2004), revelam a insatisfação e o anseio de professores por cursos de formação continuada para uso dos recursos informáticos na educação, citam dificuldades em participar desse processo por falta de recursos financeiros, de tempo e de ofertas de cursos com essa finalidade.

Dessa forma, no Brasil, como em muitos outros países, iniciativas em grande escala – a nível nacional – governamentais ou não, têm sido implementadas para capacitar professores na adoção das tecnologias em suas práticas docentes (por exemplo: ProInfo1, TV Escola2). Em tais iniciativas, devido a este papel de destaque dado ao professor, é possível inferir que este é considerado “o” agente das mudanças das práticas pedagógicas, supostamente, decorrentes da incorporação de tecnologias computacionais nas salas de aula. Podemos ler nas diretrizes do ProInfo:


O sucesso deste programa depende fundamentalmente da capacitação dos recursos humanos. Capacitar para o trabalho com novas tecnologias de informática e telecomunicações não significa apenas preparar o indivíduo para um novo trabalho docente. Significa, de fato, prepará-lo para o ingresso em uma nova cultura, apoiada em tecnologia que suporta e integra processos de interação e comunicação (BRASIL, 1997, p. 7, grifo meu).
A Matemática, como ciência, sempre teve uma relação muito especial com as tecnologias, desde as calculadoras e os computadores, aos sistemas multimídia e à Internet. Gómez (1997) afirma que:
mesmo que o uso das tecnologias não seja a solução para os problemas de ensino e aprendizagem da Matemática, há indícios de que ela se converterá lentamente em um agente catalisador do processo de mudança na Educação Matemática. Graças às possibilidades que oferece para manejar dinamicamente os objetos matemáticos em múltiplos sistemas de representação dentro de esquemas interativos, a tecnologia abre espaço para que os estudantes possam viver novas experiências matemáticas (difíceis de conseguir com recursos tradicionais como o lápis e o papel), visto que pode manipular diretamente os objetos matemáticos dentro de um ambiente de exploração.
Com a chegada dos computadores nas escolas, as questões passam a ser: Como posso utilizar o computador para ensinar? No caso específico do ensino da matemática: como ensinar fração utilizando o computador? Ou, como ensinar fatoração? E Trigonometria? São inúmeras as questões, mas, partindo da expectativa sobre “respostas”, poderíamos reformulá-las da seguinte maneira: Que software/programas existem para ensinar um conteúdo específico? Ou como incorporar um determinado software no ensino de um conteúdo específico?

As questões aqui, em sua grande maioria, buscam associar um programa ou um software computacional ao ensino de um conteúdo matemático específico. Mais genericamente poderíamos ainda questionar: Como as propostas pedagógicas para o ensino de matemática incorporam as TIC?

No caso das propostas de incorporação das TIC em processos de ensino e aprendizagem de Matemática em sala de aula, elas são inúmeras e, principalmente, variadas; mas todas têm de forma implícita a expectativa da possibilidade de superação de um ensino tradicionalmente deficiente de bons resultados.

De acordo com os documentos oficiais, são previstas medidas que inserem as tecnologias no processo educativo, a fim de se formar sujeitos capacitados para atuar numa sociedade tecnológica. A LDB (Lei nº 9. 394/96) defende uma educação escolar que trabalhe com conteúdos e recursos que qualifiquem o cidadão para viver em tal sociedade. Os PCN e as DCN, com suas normatizações para o Ensino Fundamental e Médio, apontam para a importância do trabalho com o conhecimento científico e tecnológico na Educação Básica.

Os PCN, no volume dedicado à Matemática do Ensino Fundamental destacam que:
estudiosos do tema mostram que escrita, leitura, visão, audição, criação e aprendizagem são influenciados, cada vez mais, pelos recursos da informática. Nesse cenário, insere-se mais um desafio para a escola, ou seja, o de como incorporar ao seu trabalho, tradicionalmente apoiado na oralidade e na escrita, novas formas de comunicar e conhecer. Por outro lado, também é fato que as calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos estão cada vez mais presentes nas diferentes atividades da população (BRASIL, 1998, p. 43).
Os PCN apontam que a utilização do computador, especialmente nas aulas de Matemática,
[...]

- evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados problemas;

[...]

- permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade Matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo (BRASIL, 1998, p. 44).


Moran, com posicionamentos favoráveis à utilização dos computadores como proposta metodológica para o ensino, sinaliza que esta poderosa ferramenta, cada vez mais veloz com programas e também em comunicação, permite:
Pesquisar, simular situações, testar conhecimentos específicos, descobrir novos conceitos, lugares, ideias. Produzir novos textos, avaliações, experiências. As possibilidades vão desde seguir algo pronto (tutorial), apoiar-se em algo semidesenhado para complementá-lo até criar algo diferente, sozinho ou com outros (MORAN, 2007, p. 44).
De acordo com os PCN (BRASIL, 1998), embora os computadores ainda não estejam amplamente disponíveis para a maioria das escolas, eles já começam a integrar muitas experiências educacionais, prevendo-se sua utilização em maior escala a curto prazo.

Com relação ao uso de tecnologias na educação, Lopes (2000, p. 163) coloca que, vários recursos tecnológicos foram aos poucos se incorporando à prática escolar com o objetivo de auxiliar no processo de ensino e aprendizagem. Nesse sentido, pesquisas como Borba e Penteado (2002) e Bizelli (1999) indicam que a informática está adquirindo cada vez mais espaço e presença na prática pedagógica, por servir como instrumento de apoio aos conteúdos lecionados, permitindo um auxílio a mais para o discente na aquisição de seu conhecimento.

O uso de tecnologias no ensino provoca impactos que nos fazem pensar no que afirma Maranhão et al (2004, p. 3)
(...) o uso recente de computadores e calculadoras no ensino levanta questões sobre as contribuições das novas tecnologias para o ensino e aprendizagem de Matemática, para não mencionar a possibilidade de que essa introdução gere por si só novos problemas de compreensão e raciocínio.
O papel do computador na Educação Matemática depende da forma como nós, da comunidade de educadores e educandos, nos aproximamos desta ferramenta e, principalmente, de nosso entendimento sobre os efeitos da incorporação desta tecnologia nos processos de ensinar e aprender matemática. Souza, Bastos e Angotti (1999) destacam que não basta ter o computador na escola; é necessário que haja propostas e critérios para sua utilização, professores que conheçam essas propostas, sejam capazes de criar as suas e saibam utilizar os meios tecnológicos.

Segundo Valente (1999), existem formas diferenciadas de se trabalhar com o computador na educação. As atividades com o uso do computador podem ser para transmitir informação ao aluno e consiste na informatização dos tradicionais métodos de ensino, nesse caso, o professor está apenas mudando a mídia, saindo do quadro e giz para o computador.

Muitos tutoriais3 são disponibilizados. Entretanto, de acordo com Valente (1998), a maioria não se manifesta em situações pedagógicas, não estimulando os alunos para atitudes de aprendizagem, limitando-se a continuar, com o ensino tradicional de maneira computadorizada. Giraffa (2009) acrescenta que, mesmo seguindo o padrão de uma aula tradicional, a questão de ser um tutorial, não qualifica como ruim o software e que este não abre possibilidades de aprendizagens pelos alunos. A autora (2009, p. 23) afirma:
Toda modalidade de software educacional se estiver devidamente contextualizada no projeto pedagógico do curso/aula. Não é o software que vai fazer a diferença e sim como o utilizarmos agregará ou não elementos importantes ao processo de ensino e de aprendizagem. Portanto, o software escolhido tem de ser estratégia docente e não o contrário.
Outra prática diz respeito a quando o aluno usa o computador para construir seus conhecimentos, caso que favorece a interação do aluno com objetos do ambiente computacional. O computador passa a ser uma máquina a ser ensinada, proporcionando ao aluno condições para descrever a resolução de problemas, refletir sobre os resultados obtidos e depurar4 suas ideias por intermédio da busca de novos conteúdos e novas estratégias. Ainda segundo Valente (1999), o envolvimento com o objeto em construção cria oportunidades para o aluno colocar em prática os conhecimentos que possui. Se esses conhecimentos não são suficientes para resolver os problemas encontrados, o aluno terá de buscar novas informações nas mais variadas fontes que estejam disponíveis.

Mas de que forma novas tecnologias alteram o conhecimento produzido? Para Balachef e Kaput (1996), estas tecnologias têm contribuído para a produção de um realismo, jamais visto, nos objetos matemáticos e são os recursos interpretativos – nesse caso, a tecnologia computacional – que definem essa nova forma de realismo. Objetos virtuais matemáticos em uma tela de computador nos dão a sensação de sua existência material, dada a possibilidade que temos de manipulá-los dinâmica e continuamente. Assim, para esses autores, o impacto principal da introdução das TIC no sistema educacional é de caráter epistemológico e cognitivo.

Em seus estudos, Tikhomirov (1981) expõe-nos inicialmente a, pelo menos, duas diferentes formas de interpretar o papel da informatização na atividade mental humana. Ele as denomina “teorias”. São elas: a teoria da substituição: aquela em que o computador substitui o homem na esfera intelectual e a teoria da suplementação: aquela em que o computador aumenta o volume e a velocidade com que o homem processa informações. Contudo, o estudioso, descarta ambas, argumentando que estas sugerem mudanças apenas quantitativas na atividade humana. Segundo esse autor, as teorias se equivocam ao não levarem em conta o papel da mediação externa da atividade humana.

A atividade humana mediada pelo computador altera de forma qualitativa a estrutura da atividade intelectual humana, reorganizando a memória, as formas com que passamos a armazenar a informação e com que organizamos a sua busca. Ao final, Tikhomirov conclui que “o computador reorganiza a atividade mental humana”, brindando-nos com a sua teoria da reorganização.

Ao concordarmos com Tikhomirov, podemos inferir que a inovação tecnológica provoca nossa constante reorganização, que inclui a reorganização de nossas atividades pedagógicas e de aprendizagem. Encontramos em outros autores, entendimentos que se alinham a esta ideia, em especial, à de reorganização sobre “como” aprendemos mediante a nova tecnologia de mediação. Em Baptista (2007) encontramos “... as tecnologias recentes reorganizam as subjetividades, geram novas configurações em todos os campos e incitam adaptações cognitivas”. Lévy (1993) afirma:
A inteligência ou a cognição são resultados de redes complexas onde interagem um grande número de atores humanos, biológicos e técnicos. Não sou “eu” que sou inteligente, mas “eu” com o grupo humano do qual sou membro, com minha língua, com toda uma herança de métodos e tecnologias intelectuais (dentre as quais, o uso da escrita)... Fora da coletividade, desprovido de tecnologias intelectuais, “eu” não pensaria (LÉVY, p. 135, 1993).
No campo da Educação Matemática, no Brasil, os pensamentos de Lévy e Tikhomirov são compartilhados por Borba e Penteado (2001), que nos propõem que o conhecimento seja produzido por um coletivo composto por “seres-humanos-com-mídia”. Este é um dos pressupostos dos estudos conduzidos por Borba e seu grupo de pesquisa5 sobre a relevância do computador, calculadoras gráficas ou outros tipos de mídia na Educação Matemática. Nessa perspectiva, ao utilizar o computador em ambiente de sala de aula, admite-se a possibilidade da produção de uma matemática diferenciada da produzida com a utilização do lápis e do papel. Este ponto de vista nos remete ao paralelo que Lévy (1993) estabelece entre o surgimento da informática ao da escrita, A informática parece reencenar, em algumas décadas, o destino da escrita: usada primeiro para cálculos, estatísticas, a gestão mais prosaica dos homens e das coisas, tornou-se rapidamente uma mídia de comunicação de massa, ainda mais geral, talvez, que a escrita manuscrita ou a impressão.

Prosseguindo, o autor afirma que é grande a tentação de condenar ou ignorar aquilo que nos é estranho. É mesmo possível que nos apercebamos da existência de novos estilos de saber, simplesmente porque eles não correspondem aos critérios e definições que nos constituíram e que herdamos da tradição.

Assim, as propostas educacionais para o ensino de matemática, que incorporam este modo de olhar para o computador, diferem das outras. Em geral, estas não assumem a ideia tradicional de uma matemática “pronta” ou “acabada” a ser ensinada, mas admitem também a possibilidade de se “fazer” matemática em uma atividade de aprendizagem. Nessa perspectiva, entretanto, as implicações do uso de aplicativos informáticos no ensino e na aprendizagem de matemática são pouco conhecidas. Na avaliação de Kaput (1998), a mídia computacional altera o desenvolvimento do conteúdo matemático. Mediante tais formas de olhar para o computador, o estudo das implicações de seu uso e de seu papel em processos de ensino e de aprendizagem, se faz necessário.

Em propostas elaboradas que resultaram na reorganização curricular do ensino de Cálculo na Grã Bretanha, Tall (1989) observa:


No paradigma das novas tecnologias, temos que refletir profundamente sobre a natureza da matemática requerida; tanto em termos de seu conteúdo quanto na forma como ela é organizada no currículo. Isto requer uma reavaliação cuidadosa de nossas premissas e crenças fundamentais, pois a nossa experiência prévia no paradigma “pré-computador” pode não nos prover sempre com intuições apropriadas para fazermos o julgamento correto nessa nova era tecnológica. Portanto, necessitamos de ambos: pensar reflexivamente e um design de pesquisa cuidadosamente planejado/projetado (TALL, p. 38, 1989).
Assim, acredito que modos diferentes de apropriação do computador encarnam diferentes propostas de ensino de matemática e vice-versa.

De acordo com os PCN, o computador pode ser usado nas aulas de Matemática com várias finalidades:


Como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem.

Como auxiliar no processo de construção de conhecimento.

Como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções.

Como ferramenta para realizar determinadas atividades – uso de planilhas eletrônicas, processadores de texto, banco de dados e entre outros (BRASIL, 1998, p. 44).


Quanto ao uso da calculadora,
constata-se que ela é um recurso útil para verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de auto-avaliação. A calculadora favorece a busca e a percepção de regularidades matemáticas e o desenvolvimento de estratégias de resolução de situações-problema pois estimula a descoberta de estratégias e a investigação de hipóteses, uma vez que os alunos ganham tempo na execução dos cálculos. Assim elas podem ser utilizadas como eficiente recurso para promover a aprendizagem de processos cognitivos (BRASIL, 1998, p. 45).
Moran sustentando suas ideias sobre a utilização da Internet como recurso tecnológico aplicado à educação argumenta que:
Pode ajudar a desenvolver a intuição, a flexibilidade mental, a adaptação a ritmos diferentes. A intuição, porque as informações vão sendo descobertas por acerto e erro, por conexões “escondidas”. As conexões não são lineares, vão “linkando-se” por hipertextos6, textos interconectados, mas ocultos, com inúmeras possibilidades diferentes de navegação. Desenvolve a flexibilidade, porque a maior parte das sequências é imprevisível, aberta. A mesma pessoa costuma ter dificuldades em refazer a mesma navegação duas vezes. Ajuda na adaptação a ritmos diferentes: a Internet permite a pesquisa individual, em que cada aluno trabalhe no seu próprio ritmo, e a pesquisa em grupo, em que se desenvolve a aprendizagem colaborativa (MORAN, 2007, p. 53).
Nesse sentido, a Internet assume um papel de destaque quando utilizada para fins educacionais, que associada ao computador, permite ao professor desenvolver projetos em que a participação dos alunos se efetiva de forma interativa.

Outro ponto fundamental a ser destacado, no uso das TIC na Educação Matemática, é utilização de softwares, hoje disponibilizados com finalidades educativas. O software oportuniza que o aluno trabalhe elementos abstratos, manuseando ícones que podem ser visualizados, na tela, como se fossem objetos concretos, facilitando a manipulação e, consequentemente, inferências e desenvolvimento de competências. Ele ainda oportuniza, dependendo do software, a descoberta, melhorando, assim, a apreensão de procedimentos e possibilitando uma melhor aprendizagem.

É difícil mantermo-nos atualizados quando falamos de ferramentas computacionais, mais especificamente do software para qualquer fim, devido à quantidade e velocidade com que essas tecnologias e com que cada uma de suas novas versões são desenvolvidas. Wong (2003) escreve sobre esse tema de forma humorada:
Alguns (autores) até mesmo disseram que os artigos sobre a high-tecnology tornaram-se obsoletos no momento da sua publicação. Em alguns casos, podem levar anos para a publicação de forma convencional (certamente a publicação eletrônica é mais rápida) e até então, uma nova versão do software abordado pode já ter sido lançado (e a versão original pode nem estar mais disponível) (WRONG, p. 271, 2003).
Por esse fato, do ponto de vista dos aplicativos – softwares disponíveis, não há como exaurir a discussão sobre este tema. Entretanto, tenho observado que o uso, de fato, desses aplicativos em situações de ensino e aprendizagem de matemática restringe-se a alguns tipos de softwares.

Outro aspecto a ser destacado é o interesse despertado pelo uso da tecnologia. Nota-se uma maior motivação, tanto da parte de quem ensina quanto de quem aprende. Sua utilização faz com que os alunos adquiram uma independência maior em relação ao professor, tendo em vista que faz do professor um mediador da atividade. Como resultado, o aluno precisa ensinar ao computador e se mostra mais disposto a ensinar ao colega com maior dificuldade, estreitando-se, assim, as relações entre o professor, os alunos, a máquina e a Matemática.

Kenski (2007) afirma que a presença de uma determinada tecnologia pode induzir profundas mudanças na maneira de organizar o ensino. Quando bem utilizadas, as mediações por meio de softwares e similares provocam a alteração do comportamento de professores e alunos, transformando a realidade da aula tradicional, dinamizando o espaço de ensino e aprendizagem, levando aos alunos à possibilidade de aprender melhor e de obter maior aprofundamento do conteúdo estudado.

De acordo com Cury e Bazzo (2001, p. 20), o encontro de aluno e professor na frente do computador, conversando sobre as dificuldades de aprendizagem e as limitações dos softwares, pode ser uma fonte de novas descobertas, e oportunidades para uma maior aproximação entre eles, o que sem dúvida, tem consequências benéficas para a relação professor – aluno.

Assim, Kenski (2007) refere-se a mudanças positivas nas relações entre alunos e professores com o uso das TIC, sobretudo se esse uso for intenso, a proximidade com os alunos ajuda o professor a compreender suas ideias, olhar o conhecimento de novas perspectivas e a aprender também.

Nessa relação, professor e aluno devem se sentirem desafiados a fazer uma aula diferente. O professor, quando faz o planejamento de sua aula, deve procurar proporcionar aos alunos tarefas em que eles se sintam desafiados a trabalhar para atingir os objetivos propostos.


Pode-se afirmar que o uso do computador só funciona efetivamente como instrumento no processo de ensino aprendizagem, se for inserido num contexto de atividade que desafiam o grupo em seu crescimento. Espera-se que o aluno construa o conhecimento: na relação consigo próprio, com o outro (o professor e os colegas) e com a máquina (WEISS; CRUZ, 2001, p. 18).

Ao criar oportunidades que valorizem o processo investigatório e a descoberta, por meio de trabalhos desenvolvidos no computador, por exemplo, o educador permite aos alunos perceberem que as novas tecnologias podem proporcionar não apenas momentos de lazer, mas também, momentos riquíssimos de estudo. Isso se aproxima bastante daquilo que Papert (1994) escrevia quando se referia ao computador como sendo a máquina de brincar das crianças.

De acordo com os PCN (BRASIL, 1998), outro aspecto a ser considerado é o fato de que hoje a computação gráfica é um recurso bastante estimulador para compreensão e análise do comportamento de gráficos de funções com alterações que estes sofrem quando ocorrem mudanças nos parâmetros de suas equações.

A economia de tempo também é um fator positivo, uma vez que sua falta é uma queixa recorrente dos educadores matemáticos. Quando se utiliza softwares na elaboração de gráficos, por exemplo, no tempo que se levaria para fazer um manualmente, é possível fazer vários e com uma qualidade muitas vezes superior. Isso facilita a observação de relações entre os dados que de outra forma passariam despercebidas.

Por fim, conforme Borba e Penteado (2001), os computadores não substituem os seres humanos ou simplesmente os complementam, mas auxiliam na reorganização do pensamento, com outras formas de proceder à formulação e à resolução de problemas. A informática não irá extinguir a escrita e a oralidade, e nem as demonstrações matemáticas, haverá apenas transformações ou reorganizações.

Assim, o que se propõe hoje é que o ensino de Matemática possa aproveitar ao máximo os recursos tecnológicos, tanto pela sua receptividade social como para melhorar a linguagem expressiva e comunicativa dos alunos.




    1. BREVE REVISÃO HISTÓRICA DA TRIGONOMETRIA

A Trigonometria, talvez mais que outros ramos da Matemática, desenvolveu-se como resultado de uma interação contínua e fértil entre oferta e demanda: a oferta de teorias matemáticas aplicáveis e técnicas acessíveis em qualquer momento e a demanda de uma única ciência aplicada, a Astronomia. A relação era tão íntima que só no século XVIII tornou-se proveitoso considerar os dois assuntos como tópicos separados.

O mesmo tipo de interação entre teoria e aplicação ocorreu continuamente dentro do próprio corpo do material teórico – interação entre Análise Numérica e Geometria. Considerações algébricas, no sentido de operações discretas efetuadas sobre classes de objetos, desempenharam um papel primordial e essencial, embora o simbolismo frequentemente considerado como sendo a marca da Álgebra só tenha sido introduzido no século XVI. Assim, a história da Trigonometria mostra em seu interior o crescimento embrionário de três partes clássicas da Matemática: Álgebra, Análise e Geometria.

De acordo com Kennedy (1994), os primórdios da Trigonometria perderam-se no tempo. Podem ser identificados nas primeiras sequências numéricas relacionando comprimentos de sombra com horas do dia. Essa “Trigonometria” era baseada numa única função, a corda de um arco de círculo arbitrário. O teorema de Menelau, envolvendo quadriláteros completos planos ou esféricos, tornou possível a extensão dessa disciplina à esfera. Todavia, outros métodos de passagem do plano para a esfera certamente concorreram com o teorema de Menelau e provavelmente o precederam.

Essas coisas originaram-se na região do Mediterrâneo leste em geral. O centroide das atividades deslocou-se então para a Índia (onde a função corda transformou-se em variações do seno), e daí percorreu parte do caminho de volta. Na região que se estende da Síria à Ásia Central, e no período do século IX ao século XV, a nova função seno e as antigas funções sombra (tangente, cotangente, secante, etc.) foram primorosamente tabuladas em sexagésimos. Com este desenvolvimento surgiu à primeira Trigonometria genuína, no sentido de que só então o objeto de estudos tornou-se o triângulo plano ou esférico, seus lados e ângulos.

No final do século XVIII, Leonard Euler e outros já haviam apresentado todos os teoremas da Trigonometria como corolários da teoria das funções complexas.

O desenvolvimento da Trigonometria está intimamente ligado ao da Geometria. Neste campo, a Grécia produziu grandes sábios; entre eles Thales (625 – 546 a.C.), com seus estudos de semelhança que embasam a Trigonometria, e seu discípulo Pitágoras (570 – 495 a.C.). Conjectura-se que este último tenha feito a primeira demonstração do teorema que leva seu nome: “Em todo triângulo retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos”. Deste teorema deriva a relação fundamental da Trigonometria.

Segundo Bell (1945), a Escola Pitagórica, fundada no século V a.C., foi responsável por descobertas na acústica, elaborando uma lei de intervalos musicais. Essa lei relacionava os diapasões de notas emitidas por cordas distendidas, sob tensões iguais, aos comprimentos das cordas. Podemos tomar a lei dos intervalos musicais, como um prenúncio do aparecimento das funções seno e cosseno no osciloscópio do futuro, para se estudar o som.

De acordo com Boyer (1996), na Grécia por volta de 180 – 125 a.C. foi compilada por Hiparco de Nicéia (190 – 126 a.C.) a primeira tabela trigonométrica, por isso, Hiparco ganhou o direito de ser chamado de “O Pai da Trigonometria”. Esse matemático e astrônomo grego foi uma figura da transição entre a Astronomia babilônica para a obra de Ptolomeu.




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