Unip – Universidade Paulista Matemática



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Leonardo da Vinci
Nasceu no lugarejo de Anchiano, da aldeia de Vinci, perto de Florença, a 15 de Abril de 1452, sábado, às 22.30 horas, filho de Pedro de Vinci, notário, e de Catarina, camponesa, mulher formosíssima “de olhos celestes e cabelos louros” por quem Pedro se apaixonara profundamente, mas com quem teve uma ligação um pouco irregular.

Leonardo viveu com a mãe até aos três anos, tendo ido depois para casa dos avós onde se criou, sem nunca esquecer a mãe que visitava a “horas propícias do dia e de noite”, e que por ele uma profunda ternura. Tão secreta afeição por aquela que lhe dera o ser, e que ele retratava na formosura dos olhos e no loiro dos cabelos, revelava um traço bem característico da profunda humanidade de Leonardo.

Cresceu na casa dos avós, em plena liberdade do campo, na experiência direta com a Natureza, para a qual os sentidos e a múltipla curiosidade do seu espírito se abriam. Aos sete anos freqüentou a escola de uma Igreja próxima mas, refratário ao estudo livresco, antipatizou, em particular, com a gramática latina. Fascinava-o mais observar a construção de uma habitação, vendo os operários fazerem as paredes, nivelarem as pedras, guiá-las por meio de máquinas, tendo surpreendido o arquiteto da obra, que, falando com ele, ficou assombrado com a subtileza da sua inteligência. Começou, então, a ensinar-lhe rudimentos de aritmética, geometria e mecânica, achando incrível a facilidade com que aprendia tudo.

No entanto, foi em Florença que o pai ficou admirado com o talento revelado e o apresentou a seu amigo Andrea Verrocchio, importante artista na época, que ficou verdadeiramente surpreendido e recebeu Leonardo em sua casa como aprendiz. Verrocchio passou a ser o seu grande mestre e amigo, iniciando-o não só nos segredos da pintura e da escultura mas ainda na filosofia, nas matemáticas, na música e na sabedoria da vida.

Muitos autores afirmam que a formação artística provém da observação pessoal e da aplicação prática das suas idéias. Da Vinci torna-se, assim, o talento mais versátil da Itália renascentista.

Aos 20 anos, é oficialmente aceite como pintor na corporação dos artistas de Florença, o que significa que, a partir desta data, pode trabalhar por conta própria e receber encomendas. Os seus desenhos, combinando uma precisão científica com um grande poder imaginativo, refletem a sua enorme vastidão de interesses e, com tantos e tão variados atributos, passou a estar ao serviço de todos os grandes mecenas italianos, tornando-se um dos mais notáveis pintores do seu tempo.

Em 1481, Leonardo abandonou Florença e partiu para Milão, sentindo-se atraído pela estimulante atmosfera da corte de Ludovico Sforza, por onde circulavam muitos médicos, cientistas, engenheiros e matemáticos. Foi o grande período da sua atividade, dos 30 aos 40 anos, na força do seu poder criador.

Em 1498, quando Milão fica sob o domínio de França, Da Vinci ainda permanece aí por mais algum tempo, partindo, em seguida, para Mântua acompanhado pelo seu muito amigo Luca Pacioli, matemático, que tinha conhecido na corte de Ludovico e de quem se tornara aluno.

Durante os sete anos que Pacioli e da Vinci passaram juntos, os dois entreajudaram-se para criar duas obras-primas que iriam ficar para a posteridade. Da Vinci ilustrou o segundo mais importante livro de Pacioli “De Divina Proportioni”. Pacioli, por sua vez, ensinou a da Leonardo perspectiva e proporcionalidade, permitindo-lhe criar uma das suas maiores obras-primas – um mural na parede norte do claustro Dominicano de Santa Maria de Graça. Muitos dos últimos trabalhos de Da Vinci revelam a aplicação dos estudos de geometria de Pacioli.

No seu livro “De Divina Proportioni”, Pacioli deu a explicação lógica do significado da divina proporção dos números, também chamada “Razão Áurea”, isto é, a mais agradável proporção entre duas medidas. Esta proporção áurea, também chamada “Número de Ouro” ou “Número Áureo” é uma constante real algébrica irracional, presente na Natureza, no Corpo Humano e no Universo.

Na história da arte renascentista a perfeição da beleza foi bastante explorada com base nesta constante. O “número de ouro” aparece, por exemplo, em vários pontos da obra “Mona Lisa”, nas relações entre o seu tronco e a cabeça ou entre os elementos do rosto.

O HOMEM COMO MEDIDA DO UNIVERSO


A Quadratura do Círculo, o mais famoso dos três problemas clássicos da geometria grega que se pôs ao homem, juntamente com a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo, foi o de, dado um círculo, construir geometricamente um quadrado com a mesma área, e terá sido Enópides de Quios (séc. V a.C.) o primeiro a estabelecer que os meios permitidos na sua execução, se restringissem à régua e compasso.

Leonardo, face a este problema, demonstrou que a figura humana poderia ser inscrita no círculo e no quadrado, figuras geométricas básicas da natureza, segundo inscrições encontradas no tratado “Os 10 Livros de Arquitetura”, do arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, do séc. I a.C..

Da Vinci acreditava na perfeição da figura humana, associando-a ao centro do Universo. As proporções gerais do homem adequar-se-iam, como um microcosmo, às das formas mais perfeitas do macrocosmo universal, dentro do espírito da doutrina platônica. Leonardo combinou nesta imagem ambas as posições dos membros, deixando como elementos comuns a cabeça e o tronco, ficando a circunferência tangente à base de um quadrado cujo lado é menor que o diâmetro daquela. Este estudo ficou celebrizado como “O Homem Vitruviano”, tornando-se o símbolo universal da humanidade.

CIENTISTA, INVENTOR, PINTOR


A liberdade de investigação e autonomia da razão do homem renascentista vão permitir o nascimento de uma nova ciência, radicada na observação direta e na experimentação, permitindo a explicação e compreensão dos fenômenos naturais.

“Esta nova concepção de ciência e a nova concepção do mundo que ela instaura foram sendo laboriosamente construídas por Giordano Bruno (o universo é infinito), Copérnico (heliocentrismo), Kepler (órbitas dos planetas) e Galileu (lei da inércia). E esta concepção é a antítese da concepção anterior, de raiz aristotélico-medieval. O mundo não é finito e acabado, mas infinito e aberto. A ordem do mundo não é final, mas causal. O conhecimento do mundo não é fixo, imutável e concluído, mas apenas o resultado de renovadas tentativas sempre submetidas à verificação experimental. E o instrumento desse conhecimento não é uma razão supra sensível e infalível, mas poderes naturais, falíveis e corrigíveis, a razão e a experiência. O novo método científico, baseado na observação, na experiência e na experimentação, não é outra coisa senão esse mesmo diálogo entre a razão e a experiência”(1).

Devido às circunstâncias político-militares da época, da Vinci, um homem interessado em todos os ramos do saber, colocava-se ao serviço de outros mecenas, dando liberdade aos seus muitos talentos como engenheiro, planeando a defesa de cidades, criando máquinas de projeteis, escavadoras, a drenagem de pântanos, projetando sistemas de canais. Fascinado pelo fenômeno do vôo dos pássaros, criou planos para máquinas voadoras e inventou um helicóptero e um planador.

Os seus estudos são imensos como engenheiro e inventor. São exemplo um submarino, uma calculadora mecânica, e o uso do poder do sol, através de espelhos côncavos, para aquecer a água no Vaticano. Desenvolveu instrumentos básicos da mecânica como a porca, o parafuso, a roldana, o sistema de travões e embraiagem, a correia, a manivela, a transmissão e a corrente, instrumentos utilizados, hoje, na produção de automóveis, tratores, motorizadas.

Seus cadernos eram recheados de desenhos e símbolos e observações que iam da acústica ao zodíaco. Começou estudando a ciência do movimento, via na força da água um propulsor das máquinas, acreditava que seu movimento e deslocamento era a chave da vida no mundo. Para Leonardo da Vinci, o sol não se movia e a Terra não estava no centro de sua órbita, nem no centro do universo. Acreditava ser a matemática a mais pura de todas as ciências, pois, revelava todas as leis e necessidades da natureza.




Como inventor, Leonardo previu o papel que as máquinas desempenhariam com eficiência e produtividade, isso porque seus desenhos constituem a primeira visão da revolução industrial que ocorreria mais de trezentos anos depois. Na área têxtil, desenhou um fuso móvel, um dispositivo para tornos, e para os metalúrgicos, um conjunto automático para rosca e parafuso.




Um dos estudos mais interessantes foi a elaboração de um instrumento que pudesse voar. Utilizou como modelo as asas de um morcego. Alongadamente às estruturas interdigitais do animal, construiu o instrumento voador, cujas funções eram a sustentação e o comando. Em muitos de seus inventos, utilizou as "asas móveis", que eram movidas através de alavancas e manivelas, manipuladas por um operador que ficava sentado e com as pernas abertas.

Em 1502, produziu o desenho de uma ponte para o sultão Beyazid II, de Constantinopla, estudo concretizado numa ponte menor, em 2001, na Noruega. Fez cálculos precisos para a construção das Basílicas de Milão e Pavia.

A anatomia foi outra das suas paixões. Participou em autópsias, produzindo muitos desenhos anatômicos extremamente detalhados. Fez o estudo de embriões, numa procura constante de saber, sobre o que ele chamava “o milagre da vida”.

Eram tão vastos os seus interesses que, motivado por assuntos novos, não terminava o que começava. A sua oficina fervilhava de verdadeira atividade, “zumbindo” de aprendizes e estudantes.

Os seus famosos desenhos revelam conhecimentos com séculos de avanço. Nas suas famosas anotações científicas, há centenas de ilustrações de projetos nas mais diversas áreas, da hidráulica à cosmologia, da astronomia à geologia, passando pela paleontologia, geografia, mecânica, gastronomia, música e também por audaciosos projetos de engenharia, que provam a universalidade do seu saber.

Apesar de tudo isso, é fundamentalmente como pintor que é reconhecido. De todas as artes, a pintura era para Leonardo a mais sublime. Chamava-lhe “A ciência divina da pintura”. É uma ciência que se funda na matemática e na geometria. Para Leonardo, a matemática e a experiência revelam a natureza na sua verdade objetiva, reconhecendo nela uma ordem mensurável precisa porque na natureza tudo é razão, proporção. Como os pintores do Renascimento, Da Vinci, “brincou” com os conceitos de geometria projetiva para criar nos seus quadros um aspecto tridimensional.

Leonardo trabalhava sempre à mercê da fantasia e da universal curiosidade. A sua fama espalhou-se e as encomendas afluíam. Destacam-se obras notáveis como a “Pequena Anunciação”, no Louvre, o “S. Jerônimo”, inacabado, do Vaticano, a “Adoração dos Magos”, inacabado, de Florença, entre outros.

Os seus trabalhos são inconfundíveis pela delicadeza dos acabamentos, pelo uso do “sfumato”, uma maravilhosa combinação de esmaltes, criando a mais subtil transição entre tons e formas. A cena dos anjos da “Virgem dos Rochedos”, refletindo uma sabedoria interior e uma sabedoria artística nunca suplantadas, a “Última Ceia,” uma das mais conhecidas obras, pintada no Convento de Sta. Maria della Grazie, em Milão, assim como “Mona Lisa”, também conhecida por Gioconda, exposta no Museu do Louvre, em Paris, evidenciam, entre outras, um caráter antropocêntrico, numa época em que o homem se torna o elemento mais central e valorizado do Universo. Ao contrário da pintura medieval que se ocupava de temas religiosos, a pintura renascentista tem no Homem e na Natureza o seu tema principal.

Descobriu-se através dos seus escritos e dos seus biógrafos que ele era de uma grande integridade moral e extremamente sensível à ética moral da época.

Recusou desde muito cedo o consumo de animais, reconhecendo a extrema crueldade dos meios empregues no seu abate. Dizia que a simples idéia de provocar sofrimento desnecessário era, para ele, aberrante. Inclusivamente, considerava que “tirar o leite às vacas equivalia a um roubo”, afirmando ainda que “o leite de animais deveria ser tomado apenas por crianças muito pequenas”. Alimentava-se, por isso, apenas de vegetais. Também não bebia porque, dizia, “o vinho toma a sua vingança ao bebedor”. Conta-se, como exemplo do seu amor aos animais que, em Florença, comprava os pássaros engaiolados para lhes devolver a liberdade.

Por testamento, Da Vinci legou ao seu pupilo favorito Francesco Meltzi todo o seu espólio. São 5.000 páginas de manuscritos e desenhos, incluindo roupas, dinheiro, livros, instrumentos de pintura e retratos, considerado a maior coleção de todo o Renascimento.

Leonardo manteve cadernos durante toda a sua vida, escrevendo da direita para a esquerda (escritos para serem lidos em espelho). Pensa-se que terá usado esta forma de escrita para manter algum secretismo, mas a razão mais plausível é que o tenha feito por ser “esquerdino”. No entanto, há historiadores que acreditam que Leonardo quis manter o seu trabalho confidencial para que os seus registos não fossem irresponsavelmente usados, ou para escapar aos rigores da Inquisição. . Vivia-se um ambiente muito influenciado pela Igreja Católica, onde era fácil trocar um estudo científico aprofundado por uma heresia.

Os seus desenhos continuam ainda hoje a ser um grande patrimônio histórico. Desde que foram decifrados, nos meados do séc. XIX, fica-se espantado com a diversidade de temas em que se envolveu brilhantemente. Essa herança para a Humanidade, contém cerca de 7.700 páginas.

As principais coleções estão no Louvre, na Biblioteca Ambrosiana de Milão, no Museu de Victória e Alberto, assim como na Biblioteca Britânica de Londres e em coleções particulares. Destaca-se o Codex Leicester, trabalho científico de Leonardo, adquirido e já várias vezes exposto por Bill Gates.


A 2 de Maio de 1518, morreu um dos maiores gênios europeus, com 67 anos, em Amboise, no pequeno chateau de Cloux, que lhe fora oferecido por Francisco I, de França. O rei dera-lhe o título de premier peintre, architecte et mécanicien du roi, apesar de o chamar apenas para lhe pedir conselhos ou para conversarem, cercando sempre de atenções aquele misterioso velho, de grandes barbas brancas. Foi enterrado na capela real do castelo de Amboise, entre os príncipes da Casa de França e os gentis-homens da corte. De acordo com o seu desejo, 60 pedintes seguiram o seu caixão.

Sedento de saber mas ainda mais de fazer bem, tinha como lema “non mi sazio di giovare” (não me canso de ajudar).

É considerado por muitos como o arquétipo do Homem do Renascimento. Expressou, melhor do que qualquer outro, o espírito daquele tempo. Ao contrário do homem medieval que via em Deus a razão de todas as coisas, guiado pela fé, pela Igreja e pela Autoridade, os renascentistas acreditavam no poder humano de julgar, de criar, de construir. Deus não era exterior à natureza mas estava presente na Sua criação e esta era manifestação Sua. Deus criara o mundo e dotara-o de autonomia, com leis próprias independentes do seu Criador.

Leonardo da Vinci era um homem à frente do seu tempo. “Mais do que à história da arte, ele pertence à história do espírito humano”.

Devido à sua multiplicidade de talentos e engenho criativo, Catherine Cox, num estudo que realizou em 1926, estimou em cerca de 180 o seu QI, havendo ainda outras fontes que o consideram de 220 ou mesmo de 250.

Giorgio Vasari, pintor do séc. XVI, referindo-se a Leonardo Da Vinci, escreveu: “De tempos em tempos, o Céu envia-nos alguém que não é apenas humano, mas também divino, de modo que, através do seu espírito e da sua superioridade de inteligência, possamos atingir o Céu.”

Quando, em 1509, Leonardo ilustra o livro Divina proportione de Luca Pacioli (1445 - 1517), o fascínio pela geometria foi tal que, consta, terá deixado de parte a pintura para só a retomar anos mais tarde. 

É neste contexto estético que se deve entender uma das mais significativas contribuições de leonardo no campo da matemática. Referimo-nos ao  belíssimo desenho  conhecido por "Homem de Vitruvius". Ilustrando a velha tese de Protágoras (490 - 420 a.C.) segundo a qual "o homem é a medida de todas as coisas",  Leonardo inscreve numa circunferência e num quadrado, um homem de braços e pernas estendidos, assim representando o cânone de proporções do corpo humano. O texto que acompanha o desenho transmite-nos a idéia muito concreta de que cada secção do corpo humano é uma medida (percentagem) do todo.






Se observarmos atentamente o desenho, vemos a figura de um homem com os braços em cruz inscrita num quadrado, cujo centro é a pélvis. Esta figura é intersectada por várias linhas verticais e horizontais, que determinam a divisão do quadrado em 16 partes iguais. Sobreposta a esta está uma outra figura em que o homem tem os braços levantados e as pernas afastadas, inscrita num círculo, cujo centro é o umbigo, ponto de conjugação dos princípios masculino e feminino. Da interação da forma do quadrado com a forma do círculo, nasce o pentágono (que contém em si o número de ouro). A largura do espaço compreendido entre os braços do homem é igual à sua altura.

 "Os 4 dedos fazem uma palma e 4 palmas fazem 1 pé, 6 palmas fazem um cúbito; 4 cúbitos fazem a altura de um homem. 4 cúbitos fazem um passo e 24 palmas fazem um homem. Se abrir as pernas até termos descido 1/14 de altura e abrirmos os braços até os dedos estarem ao nível do topo da cabeça então o centro dos membros abertos será no umbigo. O espaço entre as pernas abertas será um triângulo equilátero. O comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura. Desde as raízes dos cabelos até ao fundo do queixo é um décimo da altura do homem; desde o fundo do queixo até ao topo da cabeça é um oitavo da altura do homem; desde o topo do peito até ao topo da cabeça é um sexto da altura do homem; desde o topo do peito até às raízes do cabelo é um sétimo da altura do homem; desde os mamilos até ao topo da cabeça é um quarto da altura do homem. A maior largura dos ombros contém em si própria a quarta parte do homem. Desde o cotovelo até à ponta dos dedos é um quinto da altura do homem e desde o cotovelo até ao ângulo da axila é um oitavo da altura do homem. A mão inteira será um décimo da altura do homem. O início dos órgãos genitais marca o centro do homem. O pé é um sétimo do homem. Da sola do pé até debaixo do joelho é um quarto da altura do homem. Desde debaixo do joelho até o início dos órgãos genitais é um quarto do homem. A distância entre o fundo do queixo e o nariz e entre as raízes dos cabelos e as sobrancelhas é a mesma e é, como a orelha, um terço da cara"  

Este desenho comporta uma forma de resolver um problema, que muitos matemáticos tentaram resolver antes de Leonardo: partindo de um círculo, encontrar um modo de construir geometricamente um quadrado com a mesma área.

Construção geométrica sobre O Homem de Vitrúvio (1490)



"O que parece ter passado despercebido durante os mais de 500 anos deste famoso desenho é que o círculo e o quadrado, de área desigual, são completados por um novo círculo, respectivamente, em que as medidas das áreas passam a ser "iguais" em cada par círculo-quadrado.

Quanto ao novo círculo é surpreendente perceber como o desenho já o induzia: os dedos médios dos braços horizontais definem este círculo, do mesmo modo que os dedos médios dos braços esticados para cima definem o círculo maior. É de realçar que a área do quadrado original mede aproximadamente 153.9cm² e a área do círculo associado mede 153.9cm².



E quanto ao segundo quadrado, com a mesma área do círculo que Leonardo desenhou? Basta traçar os diâmetros deste círculo determinados pelos vértices inferiores do quadrado original, ou seja, unindo estes vértices ao umbigo e intersectando com o círculo maior, obtemos dois pontos pertencentes ao lado superior do segundo quadrado. Ficamos, assim, com dados suficientes para desenhar este quadrado; a sua área mede 176.9cm², ao passo que o círculo correspondente tem uma área de 176.7cm². Notável!

Repare-se que, na base do pescoço da figura humana, Leonardo marcou dois pontos unidos por um segmento. A reta que contém este segmento também contém os pontos de intersecção do quadrado original com o círculo menor. Mais do que isso, os pontos que Leonardo assinalou são precisamente os centros das rotações que transformam os braços horizontais nos braços levantados.

São observações importantes, pois há razões suficientes para crer que fazem parte do conceito do Homem de Vitrúvio."


 

Rascunho de uma calculadora de Leonardo Da Vinci

 

Modelo operacional de uma calculadora de Da Vinci

 


 

Máquina Calculadora

Embora a invenção da primeira máquina calculadora mecânica tenha sido atribuída a Blaise Pascal (1623 - 1662), a verdade é que, 150 anos antes, Leonardo da Vinci já tinha trabalhado nessa área. De acordo com as indicações dos seus manuscritos para a construção de uma máquina de calcular, as somas seriam transportadas automaticamente a partir de um conjunto de rodas dentadas numeradas de 0 a 9, ligadas de tal maneira que uma volta completa de uma roda girava um dente da seguinte. A máquina seria capaz de fazer somas e subtrações com números que poderiam ter até 13 algarismos.

Demonstração do Teorema de Pitágoras


E
F
sta bela demonstração deve-se a Leonardo da Vinci. Junte-se uma cópia do triângulo original à parte de baixo. Na figura aparecem agora quatro quadriláteros idênticos. Para demonstrar que têm a mesma área imagine-se BA rodando em torno de B até BA se sobreponha a BX transformando-se então o quadrilátero BAUY no quadrilátero BXVC.


L

E

Note-se que os quadriláteros ACVL, XVCB, AUYB e EUYF são iguais.
área(ACVL)+área(XVCB)=área(AUYB)+área(EUYF)
Cada uma das somas contém a área de dois triângulos iguais a ABC.
Logo, os hexágonos ABYFEU e CALVXB tem a mesma área.
Daí resulta que, a área do quadrado BALX é a soma das áreas dos quadrados ACEU e CBYF.

Desenhos de Arquitetura e Engenharia




Projeto de cidade



Templo centralizado



Projeto de um porto circular



Besta gigante sobre rodas



Besta de disparo centralizado



Mosteiros com projéteis explosivos


Quadros famosos



Virgem do Cravo



O batismo de Cristo



Leda


Virgem dos Rochedos



Dama do Arminho



Madonna Litta



Retrato de Ginevra de Benci



A sagrada Família e o cordeirinho

Anunciação



A Última Ceia


Conclusão


A partir dos textos aqui redigidos, espero que tenham visto o quanto foi importante para o desenvolvimento da humanidade que este homem trouxe a nós. Suas façanhas, seu jeito de pensar, de agir, sua sensibilidade com as coisas, seu modo de pensar e tudo mais fez dele uma pessoa incrível.


Tentamos passar o máximo de conhecimento e aprendizado que conseguimos reunir nestas folhas e desejo que todos que leram tenham conseguido entender suas contribuições matemáticas como a demonstração do Teorema de Pitágoras entre outros grandes momentos de sua vida. Sem mais, Obrigado!

Bibliografia


http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo.htm
http://br.geocities.com/rsmaike/Davinci.html
http://biosofia.net/2007/06/27/leonardo-da-vinci-o-grand-genio-do-renscimento/
http://paginas.terra.com.br/arte/mundoantigo/vinci/l-enge.htm
http://www.sergiosakall.com.br/artistas/personalidade_leonardo.html
http://www.museutec.org.br/linhadotempo/inventores/preview/1500leonardo_da_vinci.htm
http://www.colegiosaofrancisco.com.br/alfa/leonardo-da-vinci/leonardo-da-vinci-1.php
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/davinci/matematico.htm



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