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EQUAÇÃO DE 1o GRAU: UMA SÍNTESE TEÓRICO-METODOLÓGICA1
Neiva Ignês Grando

neiva@pf.br

Sandra Mara Marasini

marasini@upf.br

Universidade de Passo Fundo

Introdução


Nas conclusões da pesquisa sobre o campo conceitual de espaço na escola e em outros contextos culturais apontamos para a necessidade de relacionar a matemática da escola com a de outros contextos, como um dos princípios do processo ensino-aprendizagem. Foram também indicados outros princípios, relacionados à aprendizagem e ao papel do professor no contrato didático, à relação entre aprendizagem e desenvolvimento mental e à relação entre os conceitos de um sistema de conhecimentos e entre os próprios sistemas (GRANDO, 1998).

Na continuidade das reflexões, juntamos nossas concepções com as de professores do ensino fundamental, desenvolvendo pesquisas que resultaram na (re)definição de algumas idéias-princípios que pudessem fundamentar a elaboração de propostas para o ensino de matemática. Destacamos a relação entre aprendizagem e interação social e entre desenvolvimento mental e aprendizagem; a importância do domínio dos fundamentos da matemática e da definição de objetivos para as atividades propostas; a relevância de considerar os conceitos pertencentes a um sistema de conhecimentos contextualizados.

Vigotski (2001) caracteriza o processo de formação de conceitos como uma síntese complexa, como a aquisição de sentido por meio da palavra, como “o resultado de uma atividade intensa e complexa (operação com palavra ou signo), da qual todas as funções intelectuais básicas participam em uma combinação original.” (p. 168). Para o autor, “o momento central de toda essa operação é o uso funcional da palavra como meio de orientação arbitrária da atenção, da abstração, da discriminação de atributos particulares e de sua síntese e simbolização com o auxílio do signo.” (p. 236).

Sobre o processo de formação do conceito de equação e sobre o processo de solução


Tomando como base o conceito de equação, sua generalização, em nível de 6ª série do ensino fundamental, exige várias sínteses mentais antes de sua solução.

Matematicamente, a palavra equação pressupõe um conjunto de conceitos cujos significados estão estreitamente relacionados. Considerando a sentença matemática que forma uma equação como a igualdade de duas expressões é importante que os estudantes tenham consciência do que significa expressar matematicamente, diferenciando expressão numérica de algébrica. Nesse caso, expressão algébrica, conteúdo em geral abordado em 7ª série, deveria ser estudado na 6ª série como introdução para equação de 1º grau com uma incógnita. Como uma sentença matemática aberta, para a ampliação da noção de equação é necessário distinguir expressão de sentença e sentença aberta de fechada. Nesses conhecimentos estão implícitos outros, como os de termo, membro, grau, igualdade, variável e incógnita, que devem ser objetos de conhecimento – de ensino e de aprendizagem. A forma matemática geral de uma equação de 1º grau precisa ser entendida pelos estudantes como uma idéia generalizada, ou seja, como a generalização simbólica de qualquer equação de 1º grau com uma incógnita. Essa leitura matemática é fundamental para o próprio desenvolvimento do pensamento abstrato. Conforme Semenova (2003, p. 160) Davidov “demonstra que é a aquisição dos conceitos teóricos que deve constituir o principal objetivo da formação do pensamento teórico na criança”.

A partir da evolução do processo de formação do conceito de equação, tanto a solução de um problema, traduzido na forma de uma equação simbólica, quanto de uma equação dada, exigem do professor um tratamento e um cuidado especiais para que esse processo não se resuma simplesmente ao cálculo do valor de “x”. Essa é a noção que muitos acadêmicos têm quando iniciam um curso de licenciatura em matemática. Como educadores matemáticos precisamos estar vigilantes, pedagógica e epistemologicamente, incluindo na seqüência didática a relação de inclusão entre o conjunto verdade e o conjunto universo, a solução com a utilização dos princípios aditivo e multiplicativo e a percepção de que a solução permite que visualizemos a transformação de uma sentença matemática aberta em fechada.

Na seqüência, fazemos um breve relato de uma das experiências de pesquisa2 em sala de aula, numa escola da rede pública municipal de Passo Fundo.

Iniciamos a proposta para equação de 1º grau com alguns conhecimentos sobre a origem e o desenvolvimento da álgebra, por meio de pesquisa bibliográfica orientada por questões previamente definidas nos estudos realizados pela equipe – professores e acadêmicos de iniciação científica da Universidade de Passo Fundo e professores de matemática da escola.

A descrição e a representação de quantidades de peças do material de Cuisenaire serviu de base para a escrita de expressões algébricas. Os grupos de estudantes utilizaram linguagem corrente, sincopada ou gráfica antes da linguagem simbólica, o que revelou a importância de o professor conhecer a história da matemática. Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) destacam três formas de registro da linguagem algébrica: a retórica ou verbal, na qual os esquemas operatórios sobre números e equações eram descritos em linguagem corrente; na forma sincopada, as equações eram expressas de uma forma abreviada e concisa, com a introdução de alguns símbolos; como forma simbólica, as idéias algébricas passaram a ser expressas somente por meio de símbolos.

Paralelamente à escrita das expressões algébricas, com o auxílio de copos descartáveis, desenvolvemos uma atividade para a compreensão do significado de variável e do valor numérico de expressões algébricas.

Na continuidade, a análise de situações-problema relacionadas com o cotidiano de profissionais3, além de dar ênfase aos significados anteriores, permitiu que os estudantes estabelecessem relação entre generalizações algébricas e procedimentos utilizados em atividades profissionais. A indicação de um parâmetro associado a uma variável na escrita de qualquer termo algébrico, que em geral não é enfatizada em livros didáticos de matemática foi um elemento novo em relação às propostas vigentes nas escolas. Também foram apresentadas expressões algébricas para as quais os estudantes deveriam elaborar situações-problema e determinar o valor numérico das mesmas.

Novas situações-problema foram analisadas pelos estudantes, tanto para a escrita como para o conceito de grau de uma expressão algébrica. Figuras planas, sólidos geométricos e os conceitos de perímetro, área e volume contribuíram para a relação entre o número de dimensões dos objetos e o grau das expressões.

Para que percebessem o conteúdo já desenvolvido na forma de textos matemáticos, os estudantes fizeram a leitura de livros didáticos sobre expressões algébricas.

A proposta para a 6ª série, que incluiu conceito e resolução de equação, foi composta de atividades que pudessem inicialmente veicular os significados apropriados no estudo de expressão algébrica. A partir daí os estudantes foram se apropriando dos significados que compõem o conceito de equação, com a visão de sistema de conhecimentos (VIGOTSKI, 2003). A resolução de equações utilizando os princípios aditivo e multiplicativo, constituiu-se numa das metas a serem alcançadas.

Considerando a importância da interação para a aprendizagem, a exemplo da metodologia adotada para expressão algébrica, a organização das aulas privilegiou momentos de discussão em pequenos grupos e momentos de discussão no grande grupo. Nessa metodologia, para a noção de equivalência foram utilizados materiais estruturados, como o de cuisenaire e o multibase, propondo trocas de materiais equivalentes; balança de dois pratos, com ênfase no “equilíbrio”.

Em todas as atividades houve a preocupação com a escrita das sentenças matemáticas, que aos poucos foram sendo identificadas e definidas como equações. Na análise das diferentes formas utilizadas para expressar uma situação, foram sendo identificados os diferentes estilos de linguagem algébrica.

Situações de desigualdade permitiram o estabelecimento de relações de diferença e semelhança que favorecem a apropriação dos significados dos conceitos de equação e inequação. Sobre essas relações Vigotski (2003, p. 111) afirma que “a percepção da semelhança exige uma estrutura de generalização e de conceitualização mais avançada do que a consciência da dessemelhança”. Nesse sentido, podemos considerar que a capacidade de comparar e relacionar auxilia na formação do conceito de equação.

Na seqüência das atividades, foram utilizados desenhos de balanças para que os estudantes elaborassem sentenças matemáticas que representassem o equilíbrio em cada situação. Deveriam também identificar a relação matemática correspondente ao equilíbrio, determinando o valor unitário de um dos objetos da balança. Alguns grupos utilizaram o método de cancelamento, que para os casos apresentados foi um método válido tanto para solucionar um problema como para que, em outras situações, percebessem a necessidade de utilização dos princípios matemáticos (aditivo e multiplicativo). A relação matemática também era obtida na resolução de situações-problema na forma de enunciados contendo situações do cotidiano dos próprios estudantes.

Com as diferentes situações apresentadas foram exploradas as noções básicas para a compreensão do significado do conceito de equação, como as de incógnita, de sentença matemática aritmética e algébrica, de sentença aberta e fechada, de membros e termos algébricos. Textos extraídos de livros didáticos, contendo história da matemática, foram importantes tanto para situar o conceito de equação no campo algébrico quanto para perceber a evolução da linguagem algébrica.

A análise das soluções apresentadas pelos estudantes e a retomada dos conceitos de elementos oposto e inverso de números racionais relativos abriram caminho para iniciar o processo de resolução de uma equação, por meio dos princípios matemáticos aditivo e multiplicativo. Foi também dada ênfase ao significado de resolução de uma equação.

A diversidade de situações apresentadas aos estudantes foi um aspecto considerado importante pelo grupo, uma vez que permite ampliar as possibilidades de análise, com abstração dos elementos necessários para a solução de cada problema. Vigotski enfatiza a necessidade de “abstrair, isolar elementos, e examinar os elementos abstratos separadamente da totalidade da experiência concreta de que fazem parte” (2003, p. 95).

Experiências como essa contribuem para mudanças qualitativas à medida que a análise da ação pedagógica passa por uma reflexão fundamentada. Essa análise, possibilita ao professor, apropriar-se de conhecimentos tanto a nível conceitual na área da matemática, quanto a nível didático-pedagógico, caracterizando-se como um das formas de educação continuada. Segundo Monteiro (2002), “os saberes da experiência são [...] “o núcleo vital do saber docente”, a partir do qual os professores tentam transformar suas relações de exterioridade com os saberes, em relações de interioridade com sua própria prática.” (p. 138).

Sendo assim, a exteriorização de saberes durante as sessões de análise da própria proposta elaborada, à luz das teorias que fundamentam os estudo do grupo, faz com que o ato de expor gere novos conhecimentos, fazendo com que haja uma renovação consciente de atitudes perante a sala de aula. Essa mudança ocorre não somente em quanto ao conhecimento matemático, mas também, à concepção do professor sobre a relação entre aprendizagem e desenvolvimento mental.

As mudanças provocadas por essas exteriorizações, se constituem em novas aprendizagens para o professor, provocadas pelas interações com seus pares e o mundo científico. E, na possibilidade de apropriação desses conhecimentos, a busca pela originalidade de uma proposta pedagógica voltada para a sua realidade, sem contudo, deixar de assumir o papel social da escola, provoca uma avaliação criteriosa e a rejeição de modelos prontos. Os saberes produzidos nesse processo, certamente contribuem, mesmo que num universo restrito, para mudanças qualitativas no sistema educacional.


Conclusões e implicações educacionais


Temos a consciência que o estudo inicial de conceitos algébricos, no currículo escolar atual, é apenas uma primeira etapa da educação algébrica. Nesse sentido, a continuidade do processo de formação desses conceitos deverá ser gradativa e de forma a proporcionar o desenvolvimento do pensamento. Vigotski defende a idéia de que as funções intelectuais, tais como, a atenção deliberada, capacidade de comparar e diferenciar, memória lógica, abstração e generalização, desenvolvem-se no processo de formação dos conceitos e que “esses processos psicológicos complexos não podem ser dominados apenas através da aprendizagem inicial” (2003, p. 104).

As dificuldades de aprendizagem em matemática vem sendo debatidas em inúmeros eventos educacionais e com base em diferentes abordagens teóricas. A busca pela solução dessas dificuldades reflete nossas experiências, como aprendemos, como nos formamos e como nos desenvolvemos profissionalmente.


Nesse sentido, concluímos que a elaboração de uma nova proposta para o estudo da álgebra no ensino fundamental, já é importante, mas a reflexão teoricamente fundamentada, sobre essa experiência e comparada com as experiências passadas desempenha um papel fundamental para o desenvolvimento profissional do professor (POLETTINI, 1999).

Além disso, como a elaboração da proposta surgiu como uma necessidade de continuidade da pesquisa sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico no ensino fundamental, o salto qualitativo, como contribuição para a Educação Matemática, está na capacidade de intervir no próprio contexto educacional.

Assim sendo, os avanços qualitativos das experiências de sala de aula têm mostrado a viabilidade de elaborar uma proposta metodológica fundamentada em pressupostos teóricos definidos com os professores de matemática que atuam diretamente com os estudantes.


Referências


FIORENTINI, D.; MIORIN, M. Â.; MIGUEL, A. Contribuição para um repensar ... a educação algébrica elementar. Pro-Posições, v. 4, n. 1, p. 78-91, 1993.
GRANDO, N. I.. O campo conceitual de espaço na escola e em outros contextos culturais. Tese de Doutorado. Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 1998.
MONTEIRO, A. M. A prática de ensino e a produção de saberes na escola. In: CANDAU, Vera Maria (Org.). Didática, currículo e saberes escolares. 2. ed. Rio de Janeiro: DP&A Editora, 2002, p. 129-147.
POLETTINI, A. F. F. Análise das experiências vividas determinando o desenvolvimento profissional do professor de matemática. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisas em Educação matemática: concepções & Perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999, p 247-261.
SEMENOVA, M. A formação teórica e científica do pensamento dos escolares. In: GARNIER, C.; BEDNARZ, N.; ULANOVSKAYA, I. Após Vygotsky e Piaget. Porto Alegre: Artes Médicas, p. 160-168,2003.

VIGOTSKI, L. S. A construção do pensamento e da linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 2001.


______. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 2003.


1 Trabalho apresentado no IX Encontro Nacional de Educação Matemática, realizado em Belo Horizonte, no período de 18 a 21 de julho de 2007. Promoção: SBEM e SBEM/MG.

2 Projeto: Desenvolvimento do pensamento algébrico: significado dos conceitos algébricos no ensino fundamental.

3 Os referidos profissionais foram sujeitos entrevistados que participaram do projeto de pesquisa “As práticas socais e a educação matemática no ensino fundamental”, desenvolvido com professores de matemática da mesma escola municipal de Passo Fundo.



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