Universidade federal de santa catarina centro de ciências físicas e matemáticas departamento de matemática



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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA


SEMESTRE: 2014/1

I. IDENTIFICAÇÃO DA DISCIPLINA:

Código

Nome da Disciplina

Horas/aula Semanais

Teóricas Práticas



Horas/aula Semestrais

MTM 5261

Álgebra I

06

Não tem

108

Coordenador da Disciplina: Prof.(ª)

II. PROFESSOR(ES) MINISTRANTE(S)

Eliezer Batista

III. PRÉ-REQUISITO(S)

Código

Nome da Disciplina

MTM 5005

Conjuntos Numéricos

IV. CURSO(S) PARA O(S) QUAL(IS) A DISCIPLINA É OFERECIDA

Bacharelado em Matemática e Computação Científica

V. EMENTA

Anel dos inteiros. Anel dos inteiros módulo n. Definição axiomática de anel e corpo. Subanéis e ideais. Anéis quociente. Homomorfismos. Corpo de frações de um domínio. Divisibilidade, fatoração única e MDC em domínios. Anéis quadráticos.

VI. OBJETIVOS

1. Generalizar o conceito de operação binária e reconhecer propriedades.

2. Comparar as propriedades do anel de polinômios em uma variável sobre um corpo com as propriedades do anel dos números inteiros.

3. Trabalhar com o conceito abstrato de anéis e suas propriedades.

4. Reconhecer anéis quadráticos e operar com inteiros de Gauss.

5. Conhecer e aplicar teoremas sobre fatoração única.

6. Identificar propriedades de anéis euclidianos.



VII. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

1. Anel dos inteiros

1.1 Operações e propriedades.

1.2 Princípio da boa ordem.

1.3 Princípios de indução.

1.4 Algoritmo da divisão.

1.5 Ideais e MDC. Equações diofantinas e teorema de Bézout.

1.6 Números primos e ideais maximais.

1.7 Fatoração única.


2. Anel dos inteiros módulo n

2.1 Congruência módulo n.

2.2 Operações em Zn e propriedades.

2.3 Funções de Euler e determinação dos elementos invertíveis em Zn.

2.4 Divisores de zero, nilpotentes e idempotentes em Zn.

2.5 Teorema chinês dos restos.


3. Definição axiomática de anel

3.1 Definição de anel, corpo e domínio. Exemplos.

3.2 O corpo dos números complexos.

3.3 Subanéis, subcorpos e ideais (à esquerda, à direita e bilaterais).

3.4 Anéis quociente.

3.5 Homomorfismos: monomorfismo, homomorfismo sobrejetor, isomorfismo, automorfismo. Teorema do homomorfismo.


4. Anéis quadráticos

4.1 Definição e exemplos. Função norma e propriedades. Elementos invertíveis.

4.2 Inteiros de Gauss: algoritmo da divisão, elementos primos, MDC.

4.3 Exemplos de anéis nos quais elementos irredutíveis não são necessariamente primos.

5. Fatoração única em domínios

5.1 Divisibilidade. Elementos invertíveis, elementos associados, elementos irredutíveis e elementos primos.

5.2 Corpo de frações de um domínio.

5.3 Ideais primos e maximais.

5.4 Anéis euclidianos.

5.5 Anéis com MDC.

5.6 Anéis principais.

5.7 Fatoração única.



VIII. METODOLOGIA DE ENSINO / DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA

O conteúdo será desenvolvido através de aulas expositivas e aulas de exercícios.

IX. METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO

Serão realizadas três provas escritas de pesos iguais. A nota final será a média aritmética das três notas. Será aprovado o aluno que obtiver nota final maior ou igual a 6.0 (seis).

X. AVALIAÇÃO FINAL

De acordo com a Resolução 17/CUn/97, Art. 70, § 2, o aluno com frequência suficiente e média das notas de avaliação do semestre entre 3,0 e 5,5, terá direito a uma nova avaliação, sobre todo o conteúdo do semestre. Neste caso, a nota final será calculada, segundo o art. 71, § 3o, através da média aritmética das notas das avaliações parciais e a nota obtida na avaliação estabelecida no citado parágrafo. Será aprovado o aluno que obtiver nota final maior ou igual a 6,0 (seis).

XI. CRONOGRAMA TEÓRICO

Data

Atividade




P1:

P2:


P3:

Devido ao afastamento do professor no período de 19 de maio a 9 de junho para colaboração científica e evento no exterior, haverá uma série de reposições de 18 aulas (9 encontros de duas aulas ou 6 encontros de 3 aulas), com datas a serem definidas entre o professor e a turma.



XII. CRONOGRAMA PRÁTICO

Data

Atividade Não tem







XIII. BIBLIOGRAFIA BÁSICA

1. Dummit, D. e Foote, R.; Abstract Algebra, third edition, John Wiley & Sons, Inc, USA, 2004.

2. Herstein, I. N.; Topics in Algebra, John Wiley & Sons, Inc, USA, 1975.



XIV. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

  1. 1. Domingues, H. H. e Iezzi, G.; Álgebra Moderna, Atual Editora Ltda, SP, 2003.

  2. 2. Garcia, A. e Lequain, Y.; Álgebra: um curso de introdução, IMPA, RJ, 1988.

  3. 3. Garcia, A. e Lequain, Y.; Elementos de Álgebra, IMPA, RJ, 2003.

  4. 4. Gonçalves, A., Introdução à Álgebra, IMPA, RJ, 2001.

  5. 5. Hefez, A.; Curso de Álgebra, vol. I, Coleção Matemática Universitária, IMPA/CNPq, RJ, 1993.

  6. 6. Milies , F. C. P. e Coelho, S. P.; Números: uma introdução à matemática, 1ª Ed., USP, SP, 1998.

  7. 7. Monteiro, L. H. J.; Elementos de Álgebra, Livros Técnicos e Científicos, RJ, 1978.


Florianópolis, 09 de março de 2015.

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Prof. Eliezer Batista



Coordenador da disciplina






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