Universidade federal do rio grande do sul instituto de matemática secretaria de ensino à distância o número de ouro como instrumento de aprendizagem significativa no estudo dos números irracionais. Prof



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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE MATEMÁTICA

SECRETARIA DE ENSINO À DISTÂNCIA



O NÚMERO DE OURO COMO INSTRUMENTO DE APRENDIZAGEM

SIGNIFICATIVA NO ESTUDO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS.

Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia, Acad. Fabiana Fattore Serres,

Acad. Juliana Zys Magro e Acad. Taís Aline Bruno de Azevedo.

SUMÁRIO


1.

Introdução

03

2.

Origem dos Números Irracionais

04




2.1


A contagem e os números naturais

04

2.2


A medida e os Números Racionais


04


2.3

A crise da medida e os Números Irracionais


08

3.

A matemática por trás do Número de Ouro

12




3.1

A divisão áurea de um segmento ou a divisão em média e extrema razão


12

3.2

Propriedades do número áureo

14

3.3

Retângulo áureo

15

3.4

Incomensurabilidade dos lados de um retângulo áureo

22

3.5

O pentágono áureo

23

3.6

A Seqüência de Fibonacci

29

4.

Plano de atividades para o vídeo do número de ouro

33

5.

Bibliografia Recomendada

43

6.

Anexo 1 – Material para a atividade da ficha 2

44

7.

Anexo 2 – O número de ouro na internet

51

8.

Anexo 3 - O número de Ouro na Natureza

58

9.

Anexo 4 – O número de Ouro na Arquitetura

60

1. Introdução:
O número de ouro é um número irracional muito particular. Os gregos atribuíam-lhe propriedades mágicas e usavam-no na construção de seus edifícios, como o Parthenon.

Na arte, este número aparece inúmeras vezes ligado a uma concepção estética, como observamos na Mona lisa de Leonardo da Vinci. Também é encontrado nas formas da natureza, como o Nautilus, uma concha marinha e em fenômenos da biologia como o famoso problema dos coelhos de Fibonacci.

Este trabalho tem como eixo o conceito do número de ouro. A partir daí desenvolve uma proposta de ensino que inclui outros tópicos fundamentais na matemática escolar: noções de medida, razão e estimativa, números irracionais e operações com radicais.

O plano se organiza em três partes: vídeo motivador, fundamentação matemática para o professor, seqüências de atividades didáticas, para a sala de aula.

O vídeo tem origem na série Arte e Matemática, uma co-produção da TV Escola da Secretaria de Educação a Distância (Seed/MEC) e da TV Cultura da Fundação Padre Anchieta (SP), que conquistou o prêmio Dragão de Prata do II Festival Internacional do Filme Científico de Beijin (China).

A seqüência de atividades didáticas está na forma adequada para ser utilizada na sala de aula.

O objetivo maior desta proposta é criar oportunidades para uma aprendizagem significativa, levando para a sala de aula uma seqüência didática diferenciada e atraente.


  1. Origem dos Números Irracionais


2.1. A contagem e os números naturais
A cada momento a vida exige que efetuemos contagens, a dona de casa quando controla o orçamento doméstico, o cobrador do ônibus quando dá o troco ao passageiro, a mãe ao determinar o tempo do termômetro para medir a febre do filho, enfim a todos se impõe constantemente, nas mais variadas circunstâncias a realização de contagens.

Mesmo que o homem vivesse isolado, ainda assim teria necessidade de contar, a sucessão dos dias, a quantidade de alimento necessário para manter-se, e tantas outras situações que o dia-a-dia lhe impõe.

Quanto mais desenvolvidas as relações dos homens uns com os outros, mais necessária, importante e urgente se torna a contagem. Como pode haver uma transação comercial sem que um não saiba contar o que compra e o outro o dinheiro que recebe?

Ao longo da história, sempre que aos homens se põe um problema do qual depende sua vida, individual ou social, eles acabam por resolvê-lo, melhor ou pior.

Pergunta-se, portanto: - Como resolveram os homens a necessidade da contagem?

A resposta a essa pergunta é a seguinte: - Pela criação dos números naturais.


1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Por quantos séculos se arrastou a criação destes números? É impossível dizê-lo; mas pode afirmar-se com segurança que o homem primitivo de há 20.000 ou mais anos não tinha destes números o mesmo conhecimento que temos hoje.


    1. A medida e os Números Racionais

Todos sabem em que consiste o comparar duas grandezas da mesma espécie: dois comprimentos, dois pesos, dois volumes, etc.

Quando comparamos os segmentos de reta e

Aplicamos um sobre o outro, fazendo coincidir dois extremos A e C, vimos que o ponto D cai entre A e B e o resultado da comparação exprimimos dizendo que o comprimento de é maior que o de ou que o comprimento de é menor que o de .

Verificarmos que um comprimento é “maior que”, muitas vezes não é suficiente. Às vezes necessitamos saber quantas vezes cabe um comprimento no outro.

Precisamos de um termo de comparação para todas as grandezas de uma mesma espécie, sem o que as operações de troca que a vida social de hoje nos exige, seriam extremamente complicadas.


É necessário:


  • Estabelecer um termo único de comparação para todas as grandezas da mesma espécie, a este termo chamamos unidade de medida de grandeza, por exemplo, centímetros para comprimentos, gramas para peso,etc.




  • Responder à pergunta: - Quantas vezes? É o que se faz achando um número que exprima o resultado da comparação com a unidade. Chamamos este número de: “A medida da grandeza em relação a essa unidade”.

Na figura abaixo, observamos o resultado da comparação:




A

Vemos que a unidade cabe 3 vezes em ou ainda podemos dizer que a medida de tomando como unidade é 3.

Então, no problema da medida, há três aspectos importantes que devemos considerar:




  • Escolha da unidade

  • Comparação com a unidade

  • Expressão do resultado dessa comparação por um número.

Algumas vezes é vantajoso subdividirmos a unidade de medida num certo número de partes iguais;


Na figura 3 o segmento medido com a unidade = u mede 4.

Se dividirmos a unidade em 3 partes iguais e tomamos para nova unidade o segmento u’ = , teremos a medida de = 12 u’.


Dizer que vale quatro unidades de u, equivale a dizer que vale 16 das quartas partes u’ = de u. Então o resultado da medição com a unidade tanto pode ser expresso pelo número 4 como pela razão dos dois números 16 e 4, isto é pelo quociente .

Em geral, se uma grandeza, medida com a unidade u mede m, e subdividirmos u em n partes iguais, a medida da mesma grandeza, com a mesma unidade u, exprime-se pela razão dos dois números M e n, onde é o número de vezes que a nova unidade cabe na grandeza a medir: .

Freqüentemente, necessitamos medir uma grandeza com uma unidade de medida que não cabe um número exato de vezes, como na figura abaixo:




Como fazer para exprimir numericamente a medição de ainda com a unidade de medida ? Na figura 5 dividimos em 4 partes iguais, de modo que esta nova unidade caiba um número inteiro de vezes em , notamos então que cabe 15 vezes em . Então:




  • A medida de em relação à nova unidade é 15.

  • A medida de em relação a unidade é dada pela razão dos dois números 15 e 4. Mas essa razão não existe nos números inteiros, já que 15 não é divisível por 4.

Chegamos então a um impasse, pois o conjunto dos números inteiros não é suficiente para realizarmos todas as medidas. Notamos a necessidade de aperfeiçoar nosso universo, mas como?

Uma vez que se trata de números e relações entre números, verificamos que a dificuldade está em que na figura 4 existe a razão 16 : 4 ou e na figura 5 não existe a razão 15 : 4 ou . Em Geral sempre que feita a subdivisão da unidade em n partes iguais, uma dessas partes caiba m vezes na grandeza a medir, a dificuldade surge sempre que m não é divisível por n.

Se quisermos resolver a dificuldade devemos criar um novo campo numérico, de modo a reduzir essa impossibilidade: os Números Racionais.




Na figura acima, sejam os dois segmentos de reta e , em cada um dos quais se contém um número de vezes o segmento u. contém m vezes e contém n vezes o segmento u. Diz-se por definição, que a medida do segmento , tomando como unidade , é o número e escreve-se




,
quaisquer que sejam os números inteiros m e n (n não nulo); se m for divisível por n,o número coincide com o número inteiro que é quociente da divisão; se m não for divisível por n , o número diz-se fracionário.

O número se diz em qualquer hipótese, racional. Ao número m chamamos numerador e ao número n chamamos denominador.




    1. A crise da medida e os Números Irracionais

A pergunta que fica agora é: - Sempre poderemos dividir em certo número de partes, de tal forma que possamos expressar usando como unidade uma dessas subdivisões de ?

Do ponto de vista prático, a resposta imediata é sim, pois quando se aumenta o número de partes em que se divide , o comprimento de cada uma delas diminui e chega uma altura em que a precisão limitada dos instrumentos de divisão e de medida não nos permite ir além de certo comprimento mínimo e então a subdivisão de será obviamente a que usaremos para expressar .

Este resultado impõe-se a nossa intuição, mas será que vale sempre? Vamos analisar o seguinte caso de medições:




Seja o triângulo BAO isósceles, isto é, e , e procuremos para este triângulo achar a medida da hipotenusa tomando como unidade o cateto .


Se como a intuição manda, essa medida existe, há um número racional r = irredutível (se não fosse, podíamos torná-lo irredutível dividindo ambos os termos, m e n pelo maior divisor comum) tal que:


No triângulo retângulo da figura abaixo, se verifica a relação


.


A qual exprime geometricamente que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Apliquemos esta propriedade ao nosso triângulo da figura 7:



E como, por hipótese,
e

Temos que:


Ou seja:



Se elevarmos ao quadrado os dois lados da igualdade da equação

temos :


E como
= =

Então


E então

Vemos nesta última equação que é um número par , mas se o quadrado de um número é par , este número tem de ser par, ou seja, m é par. Notando que o quadrado de todo número ímpar é ímpar, e levando em conta que supomos que a fração é irredutível , vemos que n tem de ser ímpar.

Chamando k à metade de m, podemos escrever m = 2k, onde k é um número inteiro. Podemos escrever:



E daí

Isto é


mas desta equação concluímos que n é par, portanto n deve ser simultaneamente par e ímpar o que é um absurdo.

Sempre que dois segmentos de reta estão nesta situação, dizemos que eles são incomensuráveis, o que quer dizer que não tem medida comum. Isto quer dizer que não podemos escrever a medida da diagonal do quadrado, tomando o lado como unidade, na forma de um número racional . Dizemos então que esta medida é representada por um número irracional, no caso, então, .

A descoberta da existência de segmentos incomensuráveis determinou a necessidade de estender o conjunto dos racionais. A união dos racionais com os irracionais forma um novo sistema numérico: o conjunto dos reais.


  1. A matemática por trás do número de ouro:



3.1. A divisão áurea de um segmento ou a divisão em média e extrema Razão:


Dado o segmento AB, dizemos que um ponto C divide este segmento em média e extrema razão se o mais longo dos segmentos é média geométrica entre o menor e o segmento todo:



Ou seja:


Multiplicando os dois lados da equação por


obteremos:



Resolvendo a equação temos:




Vamos analisar a raiz positiva da equação por conveniência:

O número



é denominado número de ouro.

Ou seja, a razão entre as medidas dos dois segmentos x e a, é um número irracional denominado Número de Ouro.

Igualmente, como , a razão entre as medidas do segmento maior a e do segmento menor (x-a) também é igual ao número de ouro.


Alguns autores dizem que é o número de ouro, optamos por usar no nosso trabalho .

3.2. Propriedades do Número Áureo:

Basta considerar o segmento abaixo, no qual x=1, onde c divide o segmento em média e extrema razão,





Temos:


E consequentemente:




Dividindo por :



E conseqüentemente:


3.3. O Retângulo Áureo


Chama-se retângulo áureo, qualquer retângulo ABCD com a seguinte propriedade: se dele suprimirmos um quadrado, como ABFE, o retângulo restante CDEF, será semelhante ao retângulo original. Podemos traduzir esta semelhança pela relação:




Isto significa que o ponto F divide o segmento BC em média e extrema razão, logo, como já vimos, , isto é, o retângulo tem proporções áureas.

A partir desta relação:



vamos verificar que com a operação de “suprimir quadrados” indefinidamente, sempre encontraremos retângulos semelhantes, mantendo em cada novo retângulo a razão áurea.

Para isto, a partir da equação 1, multiplicando os dois lados da por temos :


Pela relação



notamos que se pegarmos o retângulo menor da figura 1 :




e dele suprimirmos um quadrado, como CIFJ, o retângulo restante será semelhante ao retângulo CDEF. Vemos então que a semelhança se mantém:



ou seja:


Podemos construir um retângulo áureo partindo de um segmento



AE = a e a partir deste, construir o quadrado ABEF, como abaixo:
Marcar o ponto médio do segmento AE

Com a ponta seca do compasso em G e abertura = GF traçar o arco FD, que jaz na reta AE e E é interno ao segmento AD.


Prolongar o segmento BF e traçar CD perpendicular ao segmento AD.



Vemos na figura 6 que : GF = GD = r


E usando o fato de que o triângulo GEF é retângulo em Ê :


Aplicamos o teorema de Pitágoras e obtemos:



Logo construímos um retângulo de lados:




Dividindo o lado maior do retângulo construído pelo menor temos:


Ou seja, o retângulo construído tem proporções áureas.


Partindo de um retângulo áureo ABCD podemos construir a espiral de ouro : Com centro em E e abertura = EF traçar o arco BF

O retângulo ADFE também é áureo, então repetindo o processo, com a ponta seca em D e abertura = DF marcamos um ponto G em AD. Traçar o segmento GH de mesma medida e paralelo a AE. Agora com raio = HF e centro em H, traçamos o arco GF.

O retângulo AEHG mantém a razão áurea e se continuarmos suprimindo quadrados e repetindo o processo de traçar arcos como descrito acima, desenhamos a espiral áurea.

3.4. Incomensurabilidade dos lados de um retângulo áureo

Na figura acima temos vários retângulos áureos: a + b e a, a e b, b e a – b, a - b e 2b – a.

Consideremos a seqüência formada pelos lados maiores dos retângulos áureos da figura 10:
a + b , a , b , a – b , 2b- a , 2a – 3b , 5b – 3a , 5a -8b , 13b – 8a , ...
Vemos que qualquer dois elementos consecutivos desta seqüência são os lados de um retângulo áureo, então o processo feito anteriormente de “suprimir quadrados” de retângulos áureos conduz a uma seqüência infinita de retângulos áureos, com dimensões cada vez menores e tendendo a zero.

Queremos provar que os lados de um retângulo áureo são incomensuráveis, suponhamos então por absurdo que são comensuráveis, isto é, existe certa unidade de medida u, tal que



Logo , q é inteiro positivo.

Como a e b são números inteiros positivos, utilizando a unidade u, todos os demais elementos da seqüência dos lados dos retângulos áureos, descrito acima, também são números inteiros positivos. Isto é um absurdo pois não existe seqüência infinita e decrescente de números inteiros positivos. Concluímos então que os lados de um retângulo áureo são incomensuráveis.




3.5. O Pentágono áureo
A figura do pentagrama que aparece no vídeo da tv escola não oferece as regularidades desejadas, vamos optar por outra para desenvolvermos a matemática do Número de Ouro de maneira adequada.

Para construir um pentagrama de ouro, desenhamos uma circunferência de raio qualquer e com um transferidor dividimos o ângulo central em 5 ângulos de 72º.



Ligando os pontos ABCDE obtemos um pentágono regular.

Fig. 11

Como , já que ambos os segmentos são raios da circunferência, temos que:



Da mesma forma encontramos e portanto :



Se traçarmos as diagonais obteremos uma estrela:



Fig. 12

Os pontos de intersecção A’, B’, C’, D’, E’ das diagonais determinam um segundo pentágono regular. Estudando a relação entre os dois pentágonos, os matemáticos da escola pitagórica descobriram propriedades importantes.


Vamos mostrar que a razão entre a diagonal D e o lado L do pentágono é o Número de Ouro:
Para isto precisamos mostrar dois resultados:


  1. Os triângulos ABE’ e ACD são semelhantes

  2. DE’= AB = L (lado do pentágono)

Do resultado 1, obtemos a seguinte relação de proporcionalidade:



Observamos que:
AB = CD = L, AC = D, AE´= AD – DE´= D - L (pelo resultado 2).

Ou seja,


Conseqüentemente :


L2 = D2 – DL
Podemos fazer

para obter


x2 – x – 1 = 0.

A raiz desta equação é o número




Provamos assim que é o Número de Ouro.



1. Vamos provar que os triângulos ABE´ e ACD são semelhantes, provando que seus ângulos são iguais. Para isto vamos traçar uma seqüência de figuras:


FIGURA 1

FIGURA 2


Vamos calcular os ângulos a, b, x marcados na figura:

2x = 180 – 108

x = 36


a = 108 – 36 = 72

b = 180 – (2 x 72) = 36




FIGURA 3

Vamos calcular o ângulo Y marcado na figura:
Y = 108 – (2 x 36) = 36 Este é o ângulo entre qualquer um dos lados e a diagonal.
FIGURA 4

Vamos calcular o ângulo Z marcado na figura:
Z = 180 – 72 – 36 = 72


FIGURA 5

É fácil ver que os triângulos são semelhantes, pois os três ângulos são congruentes.

Resta provar que DE’= AB = L


Mas isto é simples, pois já vimos que o triângulo ABE’é isósceles e é fácil ver que o triângulo BDE’também é isósceles.

Logo DE’= BE’= AB = L.





3.6. A Seqüência de Fibonacci

A seqüência de Fibonacci :


1 , 1 , 2 , 3, 5, 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ....
tem como propriedade que um número é igual a soma de seus dois antecessores.

Leonardo de Pisa (Fibonacci) matemático e comerciante da idade média escreveu em 1202 um livro denominado Liber Abacci. Este livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes, pois por este livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. A teoria contida no livro Liber Abacci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro.

Um dos problemas é o dos pares de coelhos: Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.

Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido.




Fig.16

No início do 3º mês o par adulto produzirá de novo mais um par enquanto que o par jovem terá completado 1 mês de vida e ainda não estará apto a produzir, assim no início do terceiro mês existirão três pares de coelhos, sendo: 1 par adulto + 1 par com 1 mês de idade + 1 par recém nascido.

No início do 4º mês, existirão dois pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou 1 mês, logo teremos 5 pares: 2 pares adultos + 1 par com 1 mês + 2 pares recém nascidos.

No início do 5º mês, existirão três pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e dois pares novos que completaram 1 mês de vida, assim teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2 pares(1 mês) + 3 pares recém nascidos.

No início do 6º mês, existirão cinco pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e três pares novos que completaram 1 mês, assim existirão 13 pares: 5 pares adultos + 3 par com 1 mês + 5 pares recém nascidos.

Tal processo continua através dos diversos meses até completar um ano. Observa-se esta formação na figura 16, mas também podemos perceber que a seqüência numérica, conhecida como a seqüência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:

1 , 1 , 2 , 3, 5, 8 , 13 , 21 , 34, ....

Esta seqüência de números tem uma característica especial denominada recursividade:


1ºtermo somado com o 2ºtermo gera o 3ºtermo

2ºtermo somado com o 3ºtermo gera o 4ºtermo

3ºtermo somado com o 4ºtermo gera o 5ºtermo

e assim por diante.


Denotando a seqüência por u=u(n) como o número de pares de coelhos ao final do mês n, poderemos escrever:
U(1) + u(2) = u(3)

U(2) + u(3) = u(4)

U(3) + u(4) = u(5)

U(4) + u(5) = u(6)


e assim por diante, que é uma propriedade recursiva, isto é, que cada termo pode ser obtido em função dos termos anteriores. No final do mês 12, o número de pares de coelhos deverá ser 144.

Em geral temos:


u(n+1) = u(n-1) + u(n)
De que forma ocorre esta conexão com a razão de ouro ? Na verdade a seqüência de Fibonacci é dada por:
1 , 1 , 2 , 3, 5, 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , ....
e os termos desta seqüência são denominados números de Fibonacci.

Pode-se tomar a definição desta seqüência para todo n natural, como:

u(1) = 1 , u(2) = 1
u(n+1) = u(n-1) + u(n)
Esta seqüência não é limitada superiormente, mas existe um fato interessante: Tomando as razões (divisões) de cada termo pelo seu antecessor, obtemos uma outra seqüência numérica cujo termo geral é dado por:

que é uma seqüência limitada.

Se dividirmos sempre um número da seqüência de Fibonacci pelo seu antecessor, obteremos outra seqüência:

É fácil perceber o que ocorre quando colocamos estas razões sucessivas (alturas) em um gráfico em que o eixo horizontal indica os elementos da seqüência de Fibonacci:


As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como Número de Ouro (Número Áureo), que é frequentemente representado pela letra grega .

Quando n tende a infinito, o limite é exatamente , o número de ouro.
lim

n→∞




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