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Breve Introdução Histórica aos Sólidos Platônicos

Cerca de 600 A.C. nas colônias gregas da Jônia, na costa oeste da Turquia, surgem dois dos principais matemáticos gregos: Tales de Mileto e Pitágoras de Samos, responsáveis pelo impulso inicial que faria da matemática grega um marco nos conceitos de geometria, aritmética e álgebra.

Tales de Mileto, era filósofo, astrônomo e matemático e o seu mérito reside na elaboração dedutiva de teoremas sobre geometria plana. Sabe-se, atualmente, que grande parte da geometria praticada por ele era familiar aos babilônios, um milênio antes de sua era.

Entre os Gregos havia um verdadeiro culto pela geometria, que tinha reflexos em todas as áreas de pensamento.

Pode mesmo dizer-se que a geometria foi a primeira e a mais importante ciência na antiga Grécia. Vai-se desenvolvendo a par da Astronomia,  e só muito depois, ciências como a Física,  a Química a Biologia e a Geologia ganham o seu lugar no interesse da humanidade.

Os gregos consideravam a geometria uma ciência que habitua a raciocinar e refina a inteligência. No entanto consideravam que não era preciso estudá-la com fins práticos, mas sim para "a honra da mente humana".

Grandes filósofos e matemáticos dedicaram a vida ao estudo da geometria. Enquanto a escola pitagórica, por exemplo, tinha como lema "Tudo são números" a  escola de Platão (a Academia) tinha escrito sobre a porta , "Não entre aqui ninguém que não seja geômetra".

Platão (429-348 A. C.), dizia que "até Deus geometriza"  querendo dizer com isto que, na Natureza, tudo é constituído de acordo com formas e leis geométricas.

Platão foi o primeiro matemático a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: o cubo, o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.

A eles se referiu no seu diálogo "Timeu" pelo que esses cinco poliedros regulares passaram a ser designados por sólidos platônicos.

O conhecimento destes sólidos parece ter sido desencadeado num encontro com Aquita que, em viagem à Cecília, no sul de Itália, encontraria Platão.

 

 

 

 



 

 

 



 Além de Matemático Platão era, fundamentalmente, um filósofo.

Para Platão, o Universo era formado por um corpo e uma alma, ou inteligência.
Na matéria havia porções limitadas por triângulos ou quadrados, formando-se elementos que diferiam entre si pela natureza da forma das suas superfícies periféricas.

 Se fossem quadradas teríamos o cubo - o elemento Terra. Se fossem triângulos, formando um tetraedro, teríamos o fogo, cuja natureza penetrante, estava simbolizada na agudeza dos seus vértices. O ar era formado de octaedros e a água, de icosaedros. Platão admitia que, por intervenção inteligente, uns se transformavam nos outros à excepção da terra, que se transformava em si própria. O dodecaedro, cheio de harmonia, simbolizava o próprio Universo.



Curiosamente, Proclus atribui a construção destes poliedros a Pitágoras, supondo-se que é também a ele que se deve o teorema:" Há somente cinco poliedros regulares".

Euclides (c. 300 a.C.). incluiu uma demonstração deste teorema nos seus “Elementos” considerando somente poliedros os delimitados «por figuras, de lados e ângulos iguais, e iguais entre si»

Hoje sabe-se que o teorema só é verdadeiro para os poliedros regulares convexos. Alguns séculos mais tarde, em 1597 Kepler, astrônomo alemão do século XVII, inspira-se nos poliedros regulares para estudar o movimento dos seis planetas até então conhecidos ( Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vénus e Mercúrio) e publica a sua obra "The Cosmographic Mystery", onde utiliza um modelo do sistema solar composto por esferas concêntricas, separadas umas das outras por um cubo, um tetraedro, um dodecaedro, um octaedro e um icosaedro para explicar as distâncias relativas dos planetas ao Sol.



É também Kepler, que vai descobrir o primeiro poliedro regular côncavo, que é o dodecaedro estrelado, de faces regulares que resulta do prolongamento das faces do dodecaedro.

No século XVIII, Louis Poinsot descobriu três novos poliedros regulares não convexos. Na atualidade numerosos matemáticos, artistas plásticos, designers e arquitetos entusiasmam-se com as propriedades e aplicações dos poliedros propondo vária formas de os construir e também de os representar em ecrãs de computador.

 



icosaedro estrelado”

POLIEDROS


Um poliedro é um sólido limitado apenas por superfícies planas (polígonos).



Em qualquer poliedro podemos encontrar os seguintes elementos:Faces (Figuras planas que limitam o sólido), Arestas (segmentos de recta que limitam as faces) e Vértices (pontos de encontro das arestas).

Tipos de Poliedros

Regulares

semi-regulares

irregulares

tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro, icosaedro

tetratroncoedro, cuboctatroncoedros, dodecaicositroncoedros

pirâmides e prismas

Designação dos Poliedros

Os poliedros designam-se pelo número de faces que têm:

4 faces

Tetraedro

 

8 faces

Octaedro

5 faces

Pentaedro

 

12faces

Dodecaedro

6 faces

Hexaedro

 

20faces

Icosaedro

7 faces

Heptaedro

 

13 faces

Poliedro de onze faces



Não Poliedros 

Um Não Poliedro é um sólido que não é limitado apenas por superfícies planas. O cone, o cilindro, e a esfera não são poliedros pois possuem superfícies curvas.
São também chamados sólidos de revolução.
















Cone

Cilindro

Esfera

Sólidos de Revolução

Os mais importantes sólidos de revolução são: o cilindro, o cone e a esfera; são os três corpos redondos.



Cilindro
Cilindro de revolução ou cilindro circular reto é o sólido gerado pela revolução completa de um retângulo em torno de um de seus lados. O lado em torno do qual gira o retângulo gerador é ao mesmo tempo o eixo e a altura. O lado (oposto ao eixo chama-se geratriz ou lado do cilindro; durante o movimento, este lado gera a superfície lateral do cilindro. Os outros dois lados do retângulo gerador são os raios do cilindro; eles geram os dois círculos que servem de bases ao sólido. Estas bases são perpendiculares ao eixo.
 

CONE
Cone de revolução é o sólido gerado pela revolução completa de um triângulo retângulo em torno de um dos lados do ângulo reto.
O lado  em torno do qual gira o triângulo retângulo gerador, é ao mesmo tempo o eixo e a altura do cone.
A hipotenusa  é a geratriz ou o lado do cone; durante o movimento, este lado gera a superfície lateral do cone.
O outro lado  do triângulo gerador é o raio do cone; ele gera o círculo que serve de base ao sólido. A base é perpendicular ao eixo.
 
 
 
ESFERA
1. A esfera é um sólido limitado por uma superfície que tem todos os pontos igualmente distantes de um ponto interior chamado centro.
2. A esfera é o sólido gerado pela revolução completa de um semicírculo em torno do diâmetro.
Na rotação, a semicircunferência gera a superfície da esfera.

Os poliedros regulares são também chamados sólidos Platônicos ou Pitagóricos, uma vez que foram estudados pelos Pitagóricos e referidos por Platão na sua obra Timeu.

Os sólidos platônicos são poliedros regulares em que as faces são polígonos regulares e em cujos vértices se encontra o mesmo número de faces. Todas as faces são iguais.

tetraedro

Tem três triângulos em cada vértice.


Este poliedro é formado por quatro triângulos equiláteros. Em cada um dos vértices encontra-se o mesmo número de arestas. O prefixo tetra deriva do grego e significa quatro (quatro faces).

Hexaedro

O cubo é o único poliedro regular com faces quadrangulares. Cada vértice une três quadrados. O cubo tem seis faces, pelo que também se pode chamar hexaedro (hexa significa seis em grego).



Octaedro

As faces deste poliedro são triângulos equiláteros, e em cada vértice reúnem-se quatro triângulos. Assim, o total de faces é oito, daqui o fato deste poliedro se chamar octaedro (octa significa oito em grego).






Dodecaedro

O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces são pentágonos regulares. Em cada vértice encontram-se três pentágonos. Assim este poliedro é formado por doze faces e daí vem o nome de dodecaedro (dodeca significa doze em grego).



Icosaedro

Neste poliedro são cinco os triângulos equiláteros que se encontram em cada vértice, perfazendo vinte faces. Por isso, o poliedro se chama icosaedro (icosa significa vinte em grego).

 


 

Poliedros irregulares

Um poliedro irregular é um sólido geométrico em que as faces não são  todas polígonos regulares, nem o número de faces que se encontra em cada vértice é sempre o mesmo.

Os Poliedros  irregulares mais conhecidos são os Prismas e as Pirâmides








PRISMAS

Chamamos prisma regular a um prisma reto cujas bases são polígonos regulares (com os lados geometricamente iguais).

As arestas laterais de um prisma são segmentos iguais e paralelos entre si.

Conforme os polígonos das bases são triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc. o prisma chama-se triangular, quadrangular, pentagonal, etc..

Os prismas retos cujas bases são polígonos regulares chamam-se prismas regulares.

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:











Triangular

Quadrangular

Pentagonal

Hexagonal

Quer em objetos de uso corrente, quer na Natureza, encontramos com muita freqüência formas prismáticas.

Pirâmides



Uma pirâmide é um poliedro que tem por base um polígono qualquer e por faces laterais triângulos com um vértice comum que se chama vértice da pirâmide.

É o poliedro resultante da intersecção de um ângulo sólido por um plano inclinado às arestas. Pode também ser vista como o resultado da ligação dos vértices de um polígono a um ponto fora do plano do polígono.

A pirâmide chama-se reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base. Caso contrário é oblíqua. Quando as faces são triângulos equiláteros a pirâmide é regular equilátera.

As pirâmides chamam-se triangulares, quadrangulares, pentagonais, etc. consoante o polígono da base seja um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc..





Na natureza, podemos observar formas piramidais em objetos reais, em construções, etc..As pirâmides do Egito, construídas muitos séculos antes da nossa era como sepulcro dos faraós, são quadrangulares e as bases estão orientadas segundo os pontos cardeais. A maior delas ( a de Keops) tem 160m de altura e o lado da base mede 240m.







A altura da pirâmide é a distância do vértice ao plano da base.

Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e o vértice se projeta sobre o centro desse polígono.



Numa pirâmide regular as arestas laterais são todas iguais e as faces são triângulos isósceles iguais. As alturas desses triângulos chamam-se apótemas da pirâmide.







São poliedros limitados por dois polígonos iguais e paralelos, as bases, e vários paralelogramos (as faces laterais).
A altura do prisma é a distância entre as bases.




.

Se todas as arestas e faces laterais são perpendiculares ás bases então o prisma designa-se prisma reto




Se as faces laterais são oblíquas relativamente ás bases chama-se prisma oblíquo.

 


Problemas Resolvidos

  1. Achar o volume de um prisma regular hexagonal, sabendo que as arestas da base medem 2m e sua altura é de 10m.

Solução:

Um hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulos congruentes e equiláteros. Os lados dos triângulos medem 2m e sua altura mede sen 60º = h/2. Assim, V3/2 = h/2, o que dá h = V3m ou h = 1,7m. Então, a área de cada triângulo é dada por: At = (2 x 1,7)/2 = 1,7m2. Como são seis triângulos, temos: Ah = 6 x 1,7 = 10,2m2. Assim, o volume do prisma é V = área da base x altura. Logo, V = 10,2 x 10 ou V = 102m3
Nota: V3 é a raíz quadrada de 3. / Os resultados são aproximados.

  1. Achar a área total da superfície de um cilindro reto, sabendo que o raio da base é de 10cm e a altura é de 20cm.

Solução:

A área de cada base é dada por Ab = PI x r2 = 3,14 x 100 = 314cm2. Quando planificamos a superfície lateral de um cilindro, obtemos um retângulo no qual os lados têm a mesma altura h do cilindro e o comprimento 2PIr da circunferência de uma das bases. Assim, C = 2 x 3,14 x 10 = 62,8cm. Desse modo, a área da superfície lateral é Al = 62,8 x 20 = 1.256cm2. Assim, a área total da superfície desse cilindro é At = 314 + 314 + 1.256, o que resulta em At = 1.884cm2

  1. A pirâmide de Quéops, conhecida como a Grande Pirâmide, tem cerca de 230m de aresta na base e altura aproximada de 147m. Qual é o seu volume?

Solução:

A base da pirâmide é um quadrado com lados de 230m. Logo, a área da base é dada por: Ab = 230 x 230 = 52.900m2. Como o volume é dado por V = 1/3 x Ab x h, temos: V = 1/3 x 52.900 x 157. Portanto, V = 2.592.100m3

  1. A casquinha de um sorvete tem a forma de um cone reto. Sabendo que o raio da base mede 3cm e a altura é de 12cm. Qual é o volume da casquinha?

Solução:

A base do cone é um círculo de área: Ab = PI x r2 = 3,14 x 9 = 28,26cm2. Como o volume da casquinha é dado por V = 1/3 x Ab x h = 1/3 x 28,26 x 12, temos: V = 113,04cm3

  1. Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual é sua área superficial? Descobrir a área da superfície coberta de água, sabendo que ela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície total.

Solução:

At = 4PI x r2 = 4 x 3,14 x 40.576.900. Portanto, At = 509.650.000km2. A superfície coberta por águas é dada por Aa = 3/4 x 509.650.000. Logo, Aa = 382.224km2.



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